Читайте также:
|
|
Пусть в определенном интеграле пределы интегрирования и подынтегральная функция зависят от некоторого параметра a, т.е. интеграл имеет вид . Требуется найти производную интеграла
по этому параметру a. Будем считать, что функции
,
- дифференцируемые функции по a. Рассмотрим отдельно три случая, когда в интеграле зависят от параметра либо подынтегральная функция, либо какой-то из пределов интегрирования. 1. Пусть
. Найдем
Используем теорему Лагранжа о конечном приращении функции, запишем
, где
. Тогда
. Следовательно,
. 1.Пусть от параметра зависит верхний предел интегрирования, т. е.
. Найдем
.По теореме о среднем
, где
.Тогда
. Следовательно,
Если верхний предел интегрирования сложная функция , то производная интеграла найдется как производная сложной функции, т. е.
В практических задачах нередко требуется найти производную по x от интеграла
. В этом интеграле x под интегралом – это переменная интегрирования, а верхний предел x является фактически параметром. Поэтому
.3. Если от параметра зависит только нижний предел интегрирования, то переставим верхний и нижний предел интегрирования и получим
Используем формулы дифференцирования сложной функции нескольких переменных, получим производную интеграла, зависящего от параметра в общем случае
или
Данная формула называется формулой Лейбница.
Данный интеграл называется гамма-функцией. Он часто используется в математической статистике и других прикладных разделах высшей математики. Найдем
.При
применим интегрирование по частям. Получим
так как
. Таким образом
. Получим формулу для нахождения
при n целом. Так.как.
, то
,
,
и т. д.
Билет 19.
1. Условный экстремум функции нескольких переменных. Метод множителей Лагранжа. Найти экстремум функции , x и y удовлетворяют уравнению
.
задает неявно функцию
, подставим в ф-цию z,
. Находим критические точки (в них производная = 0).
,
. Решаем систему:
![]() |
![]() ![]() |
,
, следовательно
, решаем систему вместе с
, что образует систему уравнений для нахождения критических точек, которые надо проверить на наличие в них экстремума (достаточный признак). Метод множителей Лагранжа. Левые части уравнения – частые производные ф-ции:
(ф-ция Лагранжа). Система для нахождения крит.т.:
,
(в случае n переменных):
Ф-ция Лагранжа: .
, крит. Т.
.
Дата добавления: 2015-12-07; просмотров: 105 | Нарушение авторских прав