Понятие множества

Множества

Понятие множества

Понятие множества – одно из основных понятий математики. Оно постепенно выделилось из привычных представлений о совокупности, собрании, классе, семействе и т. д. В 1872 г. немецкий математик Георг Кантор (1845–1918), создатель теории множеств, описал его как “объединение в одно целое объектов, хорошо различаемых нашей интуицией или нашей мыслью”.

Это описание понятия множества нельзя считать математическим определением, так как всякое математическое определение выражает определяемое понятие через другие, уже известные, понятия. Понятие множества нельзя свести к каким-либо уже известным понятиям и можно только пояснить на примерах. Так, например, можно говорить о множестве студентов в аудитории, о множестве компьютеров, о множестве корней квадратного уравнения x ²-5 x +6=0, о множестве песчинок на пляже, о множестве вершин многоугольника. Указанные примеры множеств обладают тем свойством, что каждое из них состоит из определенного числа элементов, которые можно оценить, ограничить. Такие множества называются конечными. В математике часто приходится иметь дело с множествами, состоящими не из конечного числа элементов. Таковыми являются: множество решений неравенства 2 x ²-3 x -5 > 0, множество натуральных чисел 1, 2, 3, …, множество точек плоскости. Такие множества называются бесконечными. К числу множеств относят и пустое множество, т. е. множество, не содержащее ни одного элемента. Обозначают его через Æ. Таковым является, например, множество действительных корней уравнения x ²+1=0. Множества будем обозначать большими буквами А, В, С,…, а их элементы – маленькими буквами а, b, с,… Запись a Î A означает, что а есть элемент множества А; запись a Ï A или означает, что а не является элементом А.

Множество А элементов a ₁, a ₂, …, a_n обозначается так:

A={a₁, a₂, …, a_n} (1)

Задание множества в форме (1) есть задание этого множества перечислением его элементов. Обобщение этого способа состоит в том, что каждый элемент задаваемого множества определяется по некоторому элементу уже известного множества. Так, считая известным множество натуральных чисел

N = {1, 2, …, n, …},(2)

определим множество степеней числа 3:

M = {3¹, 3², …}.(3)

Другой способ задания множества – описание ограничительного свойства, выделяющего элементы одного множества среди элементов другого, более широкого или основного множества. Так, например, во множестве (2) рассмотрим совокупность тех элементов, которые делятся на 5 (ограничительное и характеризующее свойство). Очевидно, это есть множество натуральных чисел, кратных 5

A = {5, 10, 15, …}.

Это множество бесконечное. Здесь употребляется и такая запись

A = { x / x делится на 5},

и читается: “ А есть множество тех натуральных чисел x, которые делятся на 5”. Вообще, обозначив символом Р (х) характеристическое свойство элементов множества А, будем писать

A = { x / P (x)}. (4)

Отметим, что через характеристическое свойство, т. е. в форме (4), можно задавать многие множества. Например, конечное множество корней уравнения x ²-5 x +6=0 может быть задано так:

{ x / x ² -5 x +6=0},

а бесконечное множество решений неравенства 2 x- 1>0 - в виде

{ x / 2 x -1>0}.

Подмножества

Множество А называется подмножеством множества В, если все элементы А являются элементами В.

То, что А является подмножеством В, записывается так: A Í B, и читается: “А является подмножеством В” или “А включено в В”. Знак Í называется знаком включения.

Замечание. Общеприняты следующие обозначения числовых множеств:

множество натуральных чисел N={1, 2, 3, …};

множество целых чисел Z={0, ±1, ±2, ±3, …};

множество рациональных чисел ;

множество действительных чисел R (рациональных и иррациональных);

множество действительных неотрицательных чисел R⁰;

множество действительных положительных чисел R⁺;

множество комплексных чисел C={ a + bi / a Î R, b Î R, i ²= -1}.

Имеют место следующие включения:N ÍZ Í Q Í R ÍC.

Из определения подмножества следует, что каждое множество А является своим подмножеством, т. е. AÍA. Пустое множество Ø является подмножеством любого множества А, т. е. Ø Í A; в противном случае существовал бы элемент х, принадлежащий Ø, но не принадлежащий А. Это противоречит тому, что Øне содержит никаких элементов.

Все подмножества множества А, кроме пустого множества Ø и самого А, называются собственными (истинными) подмножествами А.

Например, N является собственным подмножеством Z. Z является собственным подмножеством Q. Q является собственным подмножеством R.

Два множества А и В называют равными и пишут А=В, если они содержат одни и те же элементы.

Таким образом, множества А и В равны, если для любого х x ÎAтогда и только тогда, когда x ÎB. Следовательно, доказательство равенства множеств А и В состоит из доказательства двух утверждений:

1) для любого х, если x ÎA, то x ÎB;

2) для любого х, если x ÎB, то x ÎA.

Другими словами, доказательство равенства двух множеств А и В сводится к доказательству того, что множество А является подмножеством В и множество В является подмножеством А.

Дата добавления: 2015-11-26