Наивная теория множеств

Кантор считается основателем теории множеств. Множество по Кантору - это объединение определённых, различных объектов, называемых элементами множества, в единое целое. В теории множеств понятие множества и понятие элемента множества относятся к числу первоначальных математических понятий, и могут быть пояснены только с помощью примеров - не могут быть строго определены через другие объекты. Множество A считается заданным, если задано характеристическое свойство элементов этого множества. Рассматриваются такие свойства, как принадлежность элемента множеству, равенство множеств, объединение и пересечение множеств, включение одного множества в другое.

Заслуга Георга Кантора состоит не только в решении проблемы мощности множества, но и в том решительном шаге, который он сделал, рассмотрев множества, состоящие из элементов произвольной природы.

В теории множеств Кантора существенную роль играет понятие бесконечности - впервые появляется избегаемое ранее понятие актуальной бесконечности.

Кантор доказывает, что не все бесконечные множества количественно эквиваленты - за основу берётся понятие взаимно-однозначного соответствия. Первая его статья, имеющая отношение к теории множеств, относится к решению задачи из теории тригонометрических рядов - задачи о единственности разложения функции в тригонометрический ряд. Он обобщал формулировку, и ему понадобились следующие множества:

на прямой берётся множество, потом по нему строится множество всех его предельных точек, по этому множеству снова строится множество всех его предельных точек и так далее. Кантор рассматривает два вида бесконечных множеств - тех, для которых данный процесс на каком-то шаге закончится пустым множеством, и тех, для которых не закончится.

В этой же статье рассматривается соответствие действительных чисел как последовательностей рациональных чисел и точек прямой. Числом называется бесконечная последовательность, что тогда считалось непонятным и противоречивым. Правомерным считалось лишь понятие потенциальной бесконечности, как способ выражения понятия предела.

Далее Кантор использует принцип взаимно-однозначного соответствия для количественного сравнения бесконечных множеств.

Он назвал два множества эквивалентными, если между элементами этих множеств можно установить взаимно однозначное соответствие. Предположим, у нас имеется ведёрко, заполненное чёрными и цветными шариками. Каким образом можно сравнить количество чёрных и цветных шариков? Простейший способ состоит в извлечении шариков из ведёрка парами, состоящими из чёрного и цветного шариков. Если каждый шарик может быть объединён в пару с шариком другого цвета, то два множества эквивалентны. Если нет, то оставшиеся в ведёрке шарики показывают, каких шариков было больше.

Используя принцип взаимно однозначного соответствия, Кантор показал, что целые числа можно одно за другим объединить в пары с чётными числами, не исчерпав какого-либо из множеств этих чисел. То есть эти два множества имеют одинаковое число элементов. Многие другие бесконечные множества тоже можно одно за другим сопоставить с целыми числами, т.е. фактически пересчитать. Такие множества называются счётными.

Кантор также предложил оригинальный способ объединения элементов множества всех рациональных чисел в пары с целыми числами.

Бесконечное множество рациональных чисел (т.е. чисел, которые можно представить как частное двух целых чисел) могло бы показаться значительно бóльшим, чем множество целых чисел. Например, между двумя любыми соседними целыми числами, допустим 0 и 1, имеется бесконечно много рациональных чисел. Тем не менее в 1874 г. Кантор показал, что рациональные числа можно одно за другим объединить в пары с целыми числами. Всякое рациональное число можно разместить в квадратной таблице, как показано на рисунке. Тогда каждое из них может быть связано с целым числом путём проведения цветной линии. Таким образом, множество рациональных чисел является счётным. Всякое множество чисел, элементы которого можно расположить один за другим или фактически сосчитать, используя множество целых положительных чисел, Кантор назвал счётным множеством. Он доказал, что взаимно однозначного соответствия между множеством целых чисел и множеством всех точек на прямой, т.е. множеством действительных чисел, быть не может; одним словом, действительные числа образуют несчётное множество.

в 1877 г. Кантор сообщает Дедекинду о своём поразительном результате: вопреки мнению, распространённому среди математиков, ему удалось доказать, что взаимно однозначное соответствие между точками прямой и точками плоскости возможно. Каждая точка плоскости представляется парой бесконечных десятичных дробей и эти бесконечные дроби разбиваются на группы. Каждая цифра десятичного разложения, кроме нуля, начинает новую группу. Затем эти группы комбинируются и превращаются в одну бесконечную десятичную дробь, представляющую точку на плоскости. Вся процедура обратима. Аналогичное рассуждение показывает, что число точек любого конечномерного пространства эквивалентно числу точек на линии.

Определение иррациональных чисел, данное Кантором в статье, опубликованной в 1874 г., было равносильно принятию существования завершённых бесконечных множеств. Кантор занял позицию формальной математики в вопросе существования иррациональностей и утверждал, что единственным основанием их законности в математике является их формальная и внутренняя непротиворечивость. «При введении новых чисел, — писал он однажды, — от математика требуется только дать им определения, которые позволят... отличать их друг от друга. Как только число удовлетворяет этим условиям, оно может и должно рассматриваться как существующее и реальное в математике».

Эта точка зрения на иррациональные числа оказалась решающей для оправдания Кантором введения трансфинитных чисел. В статье, опубликованной в 1872 г., он определил множества исключительных точек, введя понятие предельной точки.

Трансфинитные числе Кантор впервые вводит следующим образом: Пусть дано множество P, возьмём множество его предельных точек P1, множество предельных точек P1 - множество P2, множество предельных точек P2 - множество P3, и так далее. Множества P1, P2, P3 и так далее упорядочены по включению. Если ни на каком шаге не получается пустое множество, то можно рассмотреть пересечение множеств P1, P2, P3,... и обозначить это множество P∞. Далее можно рассмотреть предельные точки множества P∞ - получить множества P∞+1,, P∞+2 и так далее. В 1883 году Кантор объявляет ∞, ∞+1, ∞+2,... трансфинитными числами, обобщением натуральных чисел.

Кантор разделяет понятие ординальных и кардинальных чисел. Трансфинитные числа, введённые в конце концов Кантором, широко известны в обозначении, которое он принял для них позже: в виде буквы א (алеф) — первой буквы еврейского алфавита. Этой буквой обозначается мощность, или число элементов бесконечного множества. Ординальное число определяется его порядком или положением в некотором перечне. Ординальное число, ассоциируемое с конечным множеством, соответствует кардинальному числу этого множества. Например, всякое множество, состоящее из пяти элементов (т.е. всякое множество, кардинальное число которого равно пяти), можно в некотором роде мыслить как непосредственно следующее за любым множеством из четырёх элементов. Другими словами, ординальное число этого множества тоже равно пяти; оно является пятым множеством в перечне множеств. Однако ординальное число бесконечного множества следует отличать от его кардинального числа. Кантор показал, что можно построить бесконечное число бесконечных множеств, имеющих различные ординальные числа, но одно и то же кардинальное число. Фактически Кантор позднее сумел превратить это свойство бесконечных множеств в критерий отличия их от конечных множеств: множество конечно, если его кардинальное и ординальное числа совпадают. Также он замечает, что для бесконечного множества, в отличии от конечного, ординальное число не равно кардинальному.

Существенным пробелом в своей теории Кантор считал вопрос о кардинальном числе континуума. Вопрос состоит в том, равна ли мощность второго числового класса мощности континуума. Эта догадка известна как гипотеза континуума Кантора и никогда не была доказана.

Также Кантор доказал, что кардинальное число любого множества меньше кардинального числа множества всех его подмножеств.

В 1871—83 Г. Кантор сделал решительный шаг, изучив множества произвольных элементов, и дал почти современное изложение теории кардинальных и ординальных чисел и теории вполне упорядоченных множеств. Он ввел понятие сравнения двух множеств, опирающееся на понятие взаимнооднозначного их соответствия. Выяснилось, что существует бесконечная шкала неравномощных множеств (напр., множество натуральных чисел и множество действительных чисел имеют разные мощности). В отмеченном цикле работ 1871—83 Кантор предложил носящую его имя теорию действительных чисел, доказал счетность множества действительных алгебраических чисел и несчетность континуума, ввел общее понятие мощности, доказал равномошность континуумов разного числа измерений и высказал континуум-гипотезу; ввел различные классы точечных множеств, определил операции пересечения и суммирования множеств, провел различение кардинальных и ординальных чисел и их обобщение на трансфиниты. Наконец, в 1895—97 Кантор дал систематизированное изложение своих трудов и положил теорию множеств в фундамент всей математики.

Дата добавления: 2015-12-08