Определенный интеграл (1)

Первообразная.

Функция F называется первообразной функцией на промежутке X, если F(x) дифференцируема на X и F'(x)=f(x) для всех x принадл. X. Если F- первообразная для f на X, то функция F+С,где C- пост., также явл. первообразной для f на X. Если F1и F2 - две первообразных для f на X,то сущ.пост.C,такая,что F2(x)=F1(x)+C

Теорема о разности двух первообразных.

Неопределенный интеграл.

Совокупность всех первообразных функции f, определенной на некотором промежутке X,называется неопред.интегр. от функции f на промежутке X и обозначается $f(x)dx. Выражение f(x)dx в этом случае называют подинтегральным выражением,а f(x)- подинтегральной функцией.Если F-некоторая первообразная для f, то $f(x)dx=F(x)+C, где С-произвольная постоянная. Основные свойства неопределенного интеграла:

а) $dF(x) = F(x) + C

б) d$f(x)dx = f(x)dx

в) $(f(x)+g(x))dx = $f(x)dx + $g(x)dx

г) $af(x)dx = a$f(x)dx, a не равно 0.

Задача о площади криволинейной трапеции,приводящая к понятию определенного интеграла по отрезку.

Найти площадь криволинейной S трапеции aABb,ограниченной данной непрерывной линией y=f(x),отрезком a<=x<=b оси Ox и двумя вертикалями x=a и x=b, если f(x)>=0 при a<=x<=b. Решение: на основании геометрического смысла определенного интеграла имеем S=$(a..b)ydx

где y=f(x)-данная функция. Замечение: Данную формулу можно обосновать иначе. Будем рассматривать площадь S как переменную величину, образованную перемещением текущей ординаты xM=y из начального положения aA в заключительное положение bB. Давая текущей абсциссе x приращение delta x = dx, получим приращение площади delta S, представляющее собой площадь вертикальной xMM'x',заключенной между ординатами в точках x и x' = x + dx. Дифференциал площади dS есть главная линейная часть приращения delta S при delta x->0 и, очевидно, равен площади прямоугольника с основанием dx и высотой y,поэтому dS=y dx (элемент площади в прямоугольных координатах). Интегрируя это равенство в пределах от x=a до x=b, будем иметь формулу: S=$(a..b) y dx.

Криволинейная трапеция.

Фигура, ограниченная графиком функции f, неотрицательной и непрерывной на отрезке [a,b], отрезком [a,b] оси Ox и перпендикулярами, проведенными к оси Ox в точках a и b. Криволинейной трапецией называют также фигуру, ограниченную прямыми x=a, x=b и графиками функций f и g, определенных на отрезке [a,b], причем f(x)<=g(x) для всех x принадл. [a,b].

Определенный интеграл (1)

Определенным интегралом называется предел интегральной суммы при стремлении к нулю наибольшей длины частичного интервала. $(от a до b) f(x)dx = lim(при n -> &) I = lim (max delta xi -> 0) Summ (i=1,n) f(ti)*dxi

Вывод: Пусть дана непрерывная на отрезке [a,b] функция f(x). Точка x0=a,x1,x2,x3,...xn-1,xn=b. Данный отрезок [a,b] разбивается на частичные интервалы необязательно одинаковой длины [x0;x1],[x1;x2]...[xn-1;xn]. Возьмем из частичных интервалом возьмем точки t1,t2,t3...tn. Значения функции f(x) в этих точках будут равны f(t1),f(t2),f(t3)...f(tn). Построим прямоугольники с высотами равными соответственно f(t1),f(t2)...f(tn). Получаем n прямоугольников. Найдем сумму площадей всех n прямоугольников и обозначим сумму буквой I и назовем эту сумму интегральной суммой. I = f(t1)*(x1-x0) + f(t2)*(x2-x1) +... + f(tn)*(xn-xn-1) = Summ (i=1,n) f(ti) delta xi. Число прямоугольников устремляем к &. Тогда ширина каждого прямоугольника стремится к 0. Если этот предел сущ. и конечен то он будет равен численно площади криволинейной фигуры, образованной линиями y=f(x), x=a, x=b, y=0. ==> lim (n-->&) In = lim (max delta xi->0) Summ (i=1,n) f(ti) delta xi = $ (от a до b) f(x)dx

Дата добавления: 2015-12-08