Интегральный признак Коши

Если члены знакоположительного ряда , являющиеся значениями функции целочисленного аргумента , монотонно убывают и стремятся к нулю , то: 1) если сходится, то и ряд сходится; 2) если расходится, то и ряд расходится. Д о к а з а т е л ь с т в о. В прямоугольной декартовой системе координат непрерывная кривая проходит через точки и ограничивает сверху криволинейную трапецию ABCD (рис. 86). Площадь этой криволинейной трапеции равняется .

Построим две ступенчатые фигуры с угловыми точками . Эти ступенчатые фигуры состоят из прямоугольников, основания которых равняются единице, а высоты значениям .

Найдем площади этих фигур. , ,где - n -я частичная сумма ряда. Площади этих ступенчатых фигур ограничивают площадь криволинейной трапеции ABCD снизу и сверху Û .Рассмотрим левую часть этого неравенства Û .При неограниченном возрастании числа n членов ряда частичные суммы ряда монотонно возрастают, так как ряд знакоположительный. При этом интеграл также возрастает и ограничен величиной интеграла . Поэтому , т. е. последовательность частичных сумм ограничена. По теореме Вейерштрасса существует предел . Следовательно, ряд сходится. Рассмотрим правую часть неравенства Û .По условию теоремы . Если неограниченно возрастает, то и предел частичных сумм неограниченно возрастает и, следовательно, ряд расходится.Таким образом, интегральный признак Коши в принципе позволяет для любого ряда решить вопрос о его сходимости. Трудность в его применении заключается в нахождении несобственных интегралов. Возможности в их нахождении ограниченные.

Билет 7.

1.Теорема 1.8 о промежуточной функции.

Если в некоторой d-окрестности точки значения функции заключены между значениями функций и , т. е. и при этом = b, то .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть .

Тогда , .

Выберем , тогда

.

2.Интегрирование иррациональных функций

Интегралы от иррациональных функций сводят с помощью подходящих замен к интегралам от рациональных функций.

Рассмотрим некоторые из возможных замен переменных, позволяющие свести интегралы от иррациональных функций к интегралам от рациональных функций.

I. Интегралы вида , где R - рациональная функция от иррациональных выражений вида: .

В данном случае необходимо применить подстановку , где n общий знаменатель дробей . Тогда .

II. Интегралы вида .

В этом случае необходимо применить подстановку , где n – общий знаменатель дробей .

III. Три подстановки Эйлера для интеграла , где R - рациональная функция, .

1. Первая подстановка Эйлера .

Примем знак + перед и возведем в квадрат. Получим .

Тогда - рациональное выражение и интеграл приводится к интегралу от рациональной функции.

2. Вторая подстановка Эйлера имеет вид

Если принять знак + перед , то после возведения в квадрат получим

. .

3. Третья подстановка Эйлера используется в случае, когда квадратный трехчлен под корнем имеет вещественные корни a и b

.

Подстановка имеет вид . .

3.Теорема Лейбница

Если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают и стремятся к нулю , то ряд сходится; причем сумма ряда по абсолютной величине не превосходит первого члена ряда .

Доказательство. По определению знакочередующегося ряда

.

Так как члены ряда монотонно убывают (), то разность в каждой скобке суммы больше нуля и эта сумма монотонно возрастает с увеличением числа членов 2 n

.

Так как в этой сумме также разность в каждой скобке больше нуля, то сумма монотонно убывает с увеличением числа членов 2n и не превосходит первого члена ряда .

предел частичных сумм ряда с нечетным числом членов.

.

При нечетном числе членов ряда сумма также не превосходит первого члена ряда .

.

Таким образом, предел частичных сумм знакочередующегося ряда существует, т. е. ряд всегда сходится, если его члены монотонно убывают и стремятся к нулю.

Частичные суммы знакочередующегося ряда меньше первого члена ряда

. Члены ряда стремятся к нулю , поэтому сумма ряда не может превосходить первого члена ряда .

Билет 8

1. Вывод формул дифференцирования степенной и показательно-степенной функций. Таблица производных. Производные высших порядков

. Производную степенной функции найдем, используя логарифмическое дифференцирование. .

Производная обобщенно-показательной (показательно-степенной) функции . Используем определение логарифма, представим функцию в виде Эту функцию дифференцируем как сложную показательную функцию.

=

= .

Как можно заметить производная обобщенно-показательной функции равняется сумме производных как показательной и как степенной функций.

Таблица производных

А.. 2б.. 2в.. 3.. 4..5.. 6.. 7.. 8..9.. 10..

11.. 12..13.. 14..

15..16..

Дата добавления: 2015-12-07