Требования к результатам освоения содержания дисциплины

Рабочая программа дисциплины

Интегральные уравнения и вариационное исчисление

Лекторы

2.1. Д.ф.-м.н., профессор Ягола Анатолий Григорьевич, кафедра математики физического факультета МГУ, e-mail: [e-mail], телефон: [phone]

2.2. Д.ф.-м.н., профессор Голубцов Петр Викторович, кафедра математики физического факультета МГУ, e-mail: [e-mail], телефон: [phone]

2.3. К.ф.-м.н., доцент Волков Владимир Тарасович, кафедра математики физического факультета МГУ, e-mail: [e-mail], телефон: [phone]

Аннотация дисциплины

Курс "Интегральные уравнения и вариационное исчисление" является обязательным общефакультетским курсом и читается в 4-м семестре. Данный курс подготовлен в рамках Приоритетных направлений развития МГУ "Система подготовки и воспроизводства кадров нового поколения".

Данный курс включает 34 часа лекций, а также 17 часов семинарских занятий, и разбит на 3 части: интегральные уравнения, вариационное исчисление и введение в методы решения некорректно поставленных задач.

В первой части курса рассматриваются линейные интегральные уравнения Фредгольма и Вольтерра. 3 лекции носят вводный характер и содержат изложение ряда вопросов функционального анализа, необходимых для понимания последующего лекционного материала. Затем (7 лекций) подробно рассмотрены интегральные уравнения Фредгольма и Вольтерра и некоторые связанные с ними вопросы, например, задача Штурма-Лиувилля.

Во второй части курса (5 лекций) излагаются основы вариационного исчисления: понятие функционала, необходимые и достаточные условия экстремума, условный экстремум, задача с повижной границей.

Заключительная часть (2 лекции) посвящена изучению основ методов регуляризации некорректно поставленных задач на примере интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода.

Цели освоения дисциплины

Изучение основных свойств линейных интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра и некоторых, связанных с ними вопросов, таких как задача Штурма-Лиувилля, основы вариационного исчисления, основы методов регуляризации на примере интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода.

Задачи дисциплины

В результате освоения дисциплины обучающийся должен знать свойства интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра 2-го рода и методы вариационного исчисления; уметь применять знания свойств интегральных уравнений и вариационных методов в других областях математики и в теоретической физике.

Компетенции

Компетенции, необходимые для освоения дисциплины.

ОНК-1, ОНК-6, ИК-3, ПК-1

Компетенции, формируемые в результате освоения дисциплины.

ПК-2; ОНК-5; ОНК-6

Требования к результатам освоения содержания дисциплины

В результате освоения дисциплины студент должен:

знать основные понятия функционального анализа, свойства интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра 2-го рода, свойства задачи Штурма-Лиувилля, основные методы вариационного исчисления, метод регуляризации для интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода;

уметь решать интегральные уравнения и задачи вариационного исчисления, применять знания свойств интегральных уравнений в других областях математики, таких как, например, дифференциальные уравнения, методы математической физики;

владеть основными методами исследования интегральных уравнений, вариационных задач, некорректно поставленных задач;

иметь опыт деятельности по решению интегральных уравнений, задач Штурма-Лиувилля и вариационных задач.

Содержание и структура дисциплины

Вид работы	Семестр	Всего
Общая трудоёмкость, акад. часов
Аудиторная работа:
Лекции, акад. часов
Семинары, акад. часов
Лабораторные работы, акад. часов	-			-
Самостоятельная работа, акад. часов
Вид итогового контроля (зачёт, зачёт с оценкой, экзамен)	экзамен			экзамен

N раз- дела	Наименование раздела	Трудоёмкость (академических часов) и содержание занятий	Форма текущего контроля
Аудиторная работа	Самостоятельная работа
Лекции	Семинары	Лабораторные работы
1.	Введение	Лекция №1 (2 часа). Классификация интегральных уравнений; физические задачи, связанные с решением интегральных уравнений. Линейные, нормированные и евклидовы пространства. Пространства функций как примеры бесконечномерных нормированных пространств. Сходимость в нормированных пространствах. Понятие ограниченной и компактной последовательностей. Фундаментальные последовательности и понятие полного пространства.	Семинар №1 (2 часа) Понятие нормы и скалярного произведния. Пространства функций, вычисление норм и скалярных произведений элементов в различных функциональных пространствах.		3 часа Работа с лекционным материалом. Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия.	ДЗ, Оп, Об
Лекция №2 (2 часа). Основы теории линейных операторов в нормированных пространствах. Понятие ограниченного, вполне непрерывного, самосопряженного операторов, норма оператора. Оператор Фредгольма как пример линейного ограниченного вполне непрерывного самосопряженного оператора в бесконечномерном евклидовом пространстве.		3 часа Работа с лекционным материалом.   Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия.
Лекция №3 (2 часа). Теорема о существовании собственного значения вполне непрерывного самосопряженного оператора. Постороение последовательности собственных векторов.		3 часа Работа с лекционным материалом.
2.	Линейные интегральные уравнения	Лекция №4 (2 часа). Однородное уравнение Фредгольма 2-го рода с симметрическим ядром. Характеристические числа и собственые функции, их свойства. Теорема Гильберта-Шмидта.			3 часа Работа с лекционным материалом.	ДЗ, КР, Оп, Об, Т
Лекция №5 (2 часа). Неоднородное уравнение Фредгольма 2-го рода с симметрическим ядром. Теорема о разрешимости уравнения, структура решения. Различные представления решения, резольвента.	Семинар №2 (1 час) Построение резольвенты неоднородного уравнения Фредгольма 2-го рода с симетрическим ядром.		3 часа Работа с лекционным материалом. Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия.
Лекция №6 (2 часа). Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами. Эквивалентность интегрального уравнения и линейной алгебраической системы. Теоремы о разрешимости, методы построения решений.	Семинар №3 (2 часа) Нахождение характеристических чисел и собственных функций однородного уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденным ядром. Решение неоднородных уравнений.		4 часа Работа с лекционным материалом. Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия.
Лекция №7 (2 часа). Принцип сжимающих отображений, теоремы о неподвижной точке. Уравнения Фредгольма с малым λ. Теоремы о разрешимости, метод последовательных приближений, резольвента.	Семинар №4 (1 час) Метод последовтельных приближений для решения уравнения Фредгольма с малым λ. Построение резольвенты.		3 часа Работа с лекционным материалом. Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия.
Лекция №8 (2 часа). Уравнения Фредгольма 2-го рода с произвольным непрерывным ядром, сведение к уравнению с вырожденным ядром. Теоремы Фредгольма.			3 часа Работа с лекционным материалом.
Лекция №9 (2 часа). Линейное уравнение Вольтерра. Теоремы о разрешимости, метод последовательных приближений, резольвента.	Семинар №5 (1 час) Методы решения уравнения Вольтерра. Построение резольвенты.		4 часа Работа с лекционным материалом. Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия.
Лекция №10 (2 часа). Задача Штурма-Лиувилля. Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению с симметрическим ядром. Существование собственых значений и собственных функций, их свойства. Теорема Стеклова.	Семинар №6 (2 часа) Нахождение собственных значений и собственных функций задачи Штурма-Лиувилля с различными краевыми условиями.		4 часа Работа с лекционным материалом. Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия.
3.	Основы вариационного исчисления	Лекция №11 (2 часа) Предмет вариационного исчисления. Понятие функционала, примеры. Сильная и слабая вариация. Понятие экстремума функционала, сильный и слабый экстремум. Основная лемма вариационного исчисления.	Семинар №7 (2 часа) Вычисление вариации функционала. Уравнение Эйлера. Различные случаи интегрирования уравнения Эйлера.		3 часа Работа с лекционным материалом. Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия.	ДЗ, КР, Оп, Об, Т
Лекция №12 (2 часа) Задача с закрепленными концами: постановка задачи, теорема о необходимом условии экстремума. Уравнение Эйлера (вывод), экстремали функционала. Теорема о необходимом условии экстремума в случае зависимости функционала от нескольких функций.		3 часа Работа с лекционным материалом. Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия.
Лекция №13 (2 часа). Задача с закрепленными концами: достаточные условия экстремума. Функция Вейерштрасса, теоремы о достаточных условиях сильного и слабого экстремума в форме Вейерштрасса и Лежандра.	Семинар №8 (2 часа) Поле экстремалей. Сильный и слабый экстремум. Проверка достаточных условий экстремума в форме Вейерштрасса и Лежандра.		4 часа Работа с лекционным материалом. Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия.
Лекция №14 (2 часа). Условный экстремум, задача Лагранжа и изопериметрическая задача. Постановки задач, теоремы о необходимых условиях экстремума. Физические примеры. Геодезические линии поверхностей.	Семинар №9 (2 часа) Решение различных задач на условный экстремум.		4 часа Работа с лекционным материалом. Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия.
Лекция №15 (2 часа). Вариационные задачи с подвижной границей и со свободным концом. Постановки задач, теоремы о необходимых условиях экстремума. Физические примеры.	Семинар №10 (2 часа) Решение различных задач с подвижной границей и со свободным концом.		4 часа Работа с лекционным материалом. Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия.
4.	Понятие о методах регуляризации решения некорректно поставленных задач	Лекция №16 (2 часа). Понятие о корректно и некорректно поставленных задачах, физические примеры. Уравнение Фредгольма 2-го рода как пример корректно поставленной задачи. Уравнение Фредгольма 1-го рода как пример некорректно поставленной задачи.			3 часа Работа с лекционным материалом.	Оп, Об
Лекция №17 (2 часа). Понятие регуляризирующего алгоритма. Метод регуляризаци А.Н.Тихонова, регуляризирующий функционал. Теорема А.Н.Тихонова.			3 часа Работа с лекционным материалом.

Дата добавления: 2015-10-30