Формула Ньютона-Лейбница

ЛЕКЦИИ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

«Математический анализ»

для направления 080100 «Экономика»

Рязань 2012

Тема 6. Определенный интеграл функции одной переменной

Лекция 1

Понятие определенного интеграла функции одной переменной

Пусть функция задана на отрезке . Разобьем отрезок на произвольных частей точками

.

Этот набор точек будем называть разбиением отрезка . Выберем в каждом из частичных отрезков произвольную промежуточную точку : , . Обозначим через длину каждого частичного отрезка .

Определение 1. Интегральной суммой для функции на отрезке , соответствующей данному разбиению и данному выбору промежуточных точек (), называют число .

Определение 2. Диаметром разбиения называют число .

Определение 3. Если существует конечный предел интегральных сумм при и , который не зависит ни от способа разбиения отрезка на части и не зависит от выбора точек , то этот предел называют определенным интегралом от функции на отрезке и обозначают

.

Определение 4. Если определенный интеграл существует, то функцию называют интегрируемой на отрезке ,

а – нижний предел, b – верхний предел, х – переменная интегрирования, – отрезок интегрирования.

Свойства определенного интеграла

Теорема 1. Если функция интегрируема на отрезке , то .

Теорема 2. Если функция интегрируема на отрезке , то .

Теорема 3. Если функция интегрируема на отрезке , то для любых имеет место равенство .

Теорема 4. Если функция интегрируема на отрезке и , то имеет место равенство .

Теорема 5. Если функции и интегрируемы на отрезке , то имеет место равенство .

Теорема 6. Если функции и интегрируемы на отрезке и при всех , то .

Теорема 7. Если функция интегрируема на отрезке и при всех , то .

Теорема 8. Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке , то:

.

Теорема 9 (теорема о среднем). Если функция непрерывна на отрезке , то на этом отрезке существует точка такая, что

.

Лекция 2

Интеграл с переменным верхним пределом, его простейшие свойства.

Формула Ньютона-Лейбница

Определение 1. Пусть функция интегрируема на отрезке . Функцию () назовем интегралом с переменным верхним пределом.

Очевидно, что , .

Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке , то функция () непрерывна на отрезке .

Теорема 2. Если функция непрерывна на отрезке , то функция () на отрезке является одной из первообразных для функции , то есть

, . (3.1)

Следствие. Всякая непрерывная на отрезке функция имеет на этом отрезке первообразную, а значит, для этой функции существует неопределенный интеграл.

Теорема 3 (формула Ньютона – Лейбница). Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда справедлива формула:

, (3.2)

где является первообразной для функции на отрезке .

Формула (3.2) называется формулой Ньютона-Лейбница вычисления определенного интеграла от функции на отрезке .

Доказательство: Пусть – первообразная для функции на отрезке . Тогда в соответствии с теоремой 9.11 функция есть первообразная для функции . Множество всех первообразных можно записать как

.

Положив в последней формуле и , получим

, ,

.

Теорема доказана.

Формула Ньютона – Лейбница представляет собой общий подход к нахождению определенных интегралов. Чтобы вычислить определенный интеграл от функции на отрезке , достаточно вычислить неопределенный интеграл (положить ), затем подставить в найденную функцию верхний предел и нижний предел и применить формулу (3.2). Заметим, что если функция имеет точки разрывов на , то формулой (3.2) в общем случае пользоваться нельзя.

Пример. Вычислить определенные интегралы:

1) ; 2) .

Решение.

1) В данном случае функция является непрерывной на отрезке . Тогда имеем первообразную . Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получим

.

2) Во втором интеграле . Эта функция непрерывна на области определения , а отрезок является его частью. Значит, можно пользоваться формулой (3.2). Находим первообразную:

.

Применяя формулу (3.2), получим

.

Дата добавления: 2015-10-30