Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Сформулируйте и докажите необходимое условие сходимости числового ряда. Приведите пример расходящегося ряда, для которого это условие выполнено.

Читайте также:
  1. I. 1.1. Пример разработки модели задачи технического контроля.
  2. II. Учет накладных расходов на примере ТОО «Тепломонолит».
  3. III. Схематическое изображение накопления - второй пример
  4. IP адресация. Правила использования адресов. Маски переменной длины. Пример разбиения на подсети с маской переменной длины.
  5. SWOT- анализ на примере ветеринарной аптечной сети.
  6. Алгоритм установки ОС на примере ОС Debian 6.0.
  7. Ая основа – Хаджури не видит разницы между нововведенцем, призывающим к своему нововведению, и не призывающим, и пример в этом он взял с Махмуда Хаддада.

Ответ: Необходимый признак сходимости: Пусть числовой ряд a1+a2+…+an+… сходится, а S – его сумма. Тогда при неограниченном возрастании числа n членов ряда его общий член an стремится к нулю

Док-во: Так как Sn-Sn-1=an и anà0, то =S и =S

Поэтому =

= - =S-S=0

Пример:

ln(1+ )+ln(1+ )+…+ln(1+ )+…

ряд расходится, хотя общий член стремится к нулю при nà∞

17. Докажите, что если ряд , a­n≥0, а ряд расходится, то ряд расходится

Ответ:

18. Докажите, что для сходимости ряда , an≥0 необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена

Ответ: Для того, чтобы ряд с неотрицательными членами сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность частичных сумм этого ряда была ограничена.

Док-во: Необходимость: Пусть ряд сходится. Это значит, что последовательность его частичных сумм имеет предел. Всякая сходящаяся последовательность является ограниченной

Достаточность: Пусть последовательность частичных сумм ряда ограничена. Т.к. ряд с неотрицательными членами, то его частичные суммы образуют не убывающую последовательность: 0≤S1≤S2≤…≤Sn-1≤Sn≤…

Монотонная ограниченная последовательность сходится, т.е. сходится ряд

Сформулируйте и докажите признак Даламбера для числовых рядов с положительными членами

Ответ: Признак Даламбера: Если для ряда a1+a2+…+an+… с положительными членами существует предел L= , то при 0<L<1 ряд сходится, а при L>1 – расходится. Замечание: при L=1 признак ответа не дает.

Док-во: Пусть L<1. Тогда для ε= >0 существует n0, такое что < ε= =

–L< ; < = q

Тогда q<1, т.к. L<1

Имеем:

В силу первого признака сравнения рядов из сходимости ряда an+anq+…+anqk+… при 0<q<1 следует сходимость ряда an+an+1+…+an+k+…

Док-во закончено. Для случая L>1 док-во аналогично, но получается сравнением с суммой геом. прогрессии, где q>1

Сформулируйте признак Даламбера в предельной форме. Приведите пример сходящегося ряда с положительными членами, к которому этот признак неприменим.

Ответ: Если существует p= , то рассматриваемый ряд абсолютно сходится если p<1, a если p>1 – расходится.

Пример ряда:


Дата добавления: 2015-10-23; просмотров: 182 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Не имеет предела в точке (0,0)| Сформулируйте признак Лейбница для знакочередующихся числовых рядов. Приведите пример знакочередующегося ряда, сходящегося условно.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.005 сек.)