Теоретические сведения. Экстремальные задачи встречаются почти во всех разделах математики и в

Экстремальные задачи встречаются почти во всех разделах математики и в многочисленных прикладных дисциплинах. В них задается некоторый критерий J = f (X), и требуется найти значение векторного аргумента X, при котором критерий J достигает экстремального значения (максимального или минимального). При этом оговаривается область изменения аргумента X или некоторое множество .

Различают задачи на условный и безусловный экстремум. В случае условно-экстремальных задач требуется найти экстремум критерия J = f (X) при дополнительном ограничении, например в виде равенства g (X) = 0. В случае безусловных экстремальных задач такие ограничения отсутствуют.

Широко известный аналитический метод решения задач на безусловный экстремум опирается на теорему Ферма. В соответствии с ней поиск экстремума функции одной или нескольких переменных следует производить на множестве стационарных точек этой функции. Стационарными называются те точки, в которых производная функции равна нулю.

Если задана функция нескольких переменных J = f (x 1,..., x_n), то ее стационарные точки находятся из уравнений

¶ f / ¶ x 1 =0,..., ¶ f / ¶ x_n =0. (1)

Поскольку частные производные представляет собой компоненты градиента функции f, то эти уравнения можно записать в компактном виде grad J = 0.

Однако, это условие только необходимое, поэтому после отыскания корней системы алгебраических уравнений (1) нужно проверить достаточные условия экстремума, например, анализируя матрицу вторых производных. Если эта матрица положительно определенная A>0, то найденное решение – точка минимума, если отрицательно определенная A<0 – точка максимума. В случае неопределенных матриц найденное решение – седловая точка. Если задана область изменения переменных, то надо еще проверить граничные точки.

Пример. Рассмотрим задачу отыскания экстремума следующей функции от трех переменных

y = 2 x ₁² + 8 x ₂² + x ₃² + 4 x ₁ x ₂ + 2 x ₁ x ₃ – 4 x ₃.

Ее матричное описание имеет вид y = X^TAX + c^TX, где

Вычисляя производные и приравнивая их нулю, получаем три уравнения

4 x ₁ + 4 x ₂ + 2 x ₃ = 0, 16 x ₂ + 4 x ₁ = 0, 2 x ₃ + 2 x ₁ – 4 = 0.

Решение этой системы линейных уравнений имеет вид x ₁ = – 4, x ₂ = 1, x ₃ = 6.

Матрица вторых производных от функции y равна удвоенной матрице А. Матрица А положительно определенная, в чем можно убедиться, проверяя знаки ее угловых миноров, либо находя ее собственные числа (все они положительны: 8,62; 2,17; 0,214). Следовательно, найденное решение – точка минимума.

Практическое применение метода Ферма требует выполнения двух типов математических операций:

– вычисление частных производных от функции многих переменных;

– решение получаемой системы алгебраических уравнений.

Существенную помощь при их выполнении могут оказать пакеты символьных вычислений, в частности, пакет MAPLE.

Дата добавления: 2015-10-29