Примеры исследования функций и построения графиков

В данном разделе рассмотрены задачи, связанные с исследованием функций и построением их графиков. Примеры даны с подробным решением. Приступая к выполнению типового расчета, студент может рассмотреть соответствующий пример данного раздела и найти ответы на возникающие при работе вопросы.

Пример 1. Найти асимптоты кривой и построить график функции по точкам.

Решение.

1. Поскольку корень четной степени принимает только арифметические значения, то график функции целиком расположен выше оси ОХ. Функция определена при условии , т.е. в интервалах и . Поэтому исследуем поведение функции при и .

, значит прямая х = 2 является вертикальной асимптотой.

Теперь рассмотрим поведение функции слева от нуля: . Мы получили конечный предел, поэтому прямая не является вертикальной асимптотой. По мере приближения к точке слева функция стремится к нулю, оставаясь при этом положительной.

2.Определим уравнения невертикальных асимптот.

при и .

1; = = = = = = .

Таким образом, существует правая наклонная асимптота .

-1;

= = = = = .

Существует левая наклонная асимптота .

Для построения графика необходимо взять несколько дополнительных точек:

Х		-1	-2	2,5
у		0,58	1,4	5,6	5,2	5,6

График функции изображен на рис. 1.

Рис.1. График функции .

Пример 2. Провести полное исследование функции и построить ее график.

Решение.

1. Область определения функции: .

2. Точек разрыва нет, так как функция существует при любых действительных значениях .

3. Найдем асимптоты:

а) вертикальных асимптот нет, так как нет точек разрыва второго рода;

б) невертикальные асимптоты (в данном примере исследования при и аналогичны):

;

= = = = = .

Уравнение невертикальной асимптоты

4. Исследование на экстремум

= = ;

при . Производная не существует при и .

Составим таблицу:

х			(0;4)		(4;6)		(6;+∞)
	+	Не сущест.	─		+	Не сущест.	+
у	возрастает	max	убывает	min	возрастает		возрастает

5. Исследование на перегиб

=

= = = = = .

Вторая производная при любых отлична от нуля и не существует при и .

Составим таблицу:

	+	Не сущ.	+	Не сущ.	-
	Вогнута	Нет точек перегиба	Вогнута	Точка перегиба	Выпукла

Значение функции в точке перегиба .

6. Точки пересечения с осями координат.

=

при и .

7. По данным исследования строим график функции (рис. 2).

Рис. 2. График функции .

Пример 3. Провести полное исследование функции и построить её график.

Решение.

1. Область определения функции:

2. Исследуем граничную точку .

= =

= .

3. Заметим, что функция в окрестности точки стремится к нулю, оставаясь при этом отрицательной. Конечный предел означает, что вертикальных асимптот нет. Находим невертикальные асимптоты .

Так как функция определена при , то исследуем ее поведение лишь при .

.

Невертикальных асимптот нет.

4. Исследование на экстремум

;

, при или , причем ─ граничная точка области определения.

Составим таблицу:

	–		+
	Функция убывает	- (min)	Функция возрастает

5. Определим интервалы выпуклости и вогнутости кривой. Найдем точки перегиба

.

Производная обращается в ноль при .

Составим таблицу:

	-		+
	выпукла	точка перегиба	вогнута

= .

График функции изображен на рис. 3.

Пример 4. Исследовать функцию и поострить её график

.

Замечание. При исследовании функций, заданных параметрически, можно пользоваться упрощенной схемой исследования.

1. Найти область изменения переменных

2. Найти точки пересечения графика с осями координат.

3. Найти производную функции и точки, в которых она обращается в нуль или не существует. Учитываем, что в точках, где производная равна нулю, касательная к графику параллельна оси ОХ, а в точках, где производная не существует, касательная перпендикулярна оси ОХ.

4. При необходимости взять несколько дополнительных точек.

Решение.

Поскольку х и у выражены через параметр t, то можно получить соответствующие значения х и у. Таким образом, построение функции, заданной параметрически, удобнее всего проводить поточечно, если есть возможность вычислить достаточно большое число точек.

1. Рассмотрим первоначально и как функции от . В системе координат выражение определяет параболу, переменная определена при любом , причем при переменная . Максимальное значение соответствует значению (вершина параболы), следовательно . Для функции максимального значения не существует. Функция определена при и , , .

2. Точки пересечения с осями координат.

Если , то , то . Этим значениям соответствуют следующие значения : . Это точки пересечения графика с осью ОХ.

Если , то , Этим значениям соответствуют следующие значения : Это точки пересечения с осью ОУ.

3. Вычислим производную и определим экстремум функции и интервалы монотонности: = =

Заметим, что при производная не определена. На графике параметру соответствует точка с координатами , , точка (1;2). В окрестности точки производная положительна, что соответствует монотонному возрастанию функции.

Производная при , что соответствует точке (-3;-2). В этой точке касательная к графику функции параллельна оси ОХ, а точка (-3;-2) является точкой минимума, поскольку производная при переходе через точку меняет знак с «-» на «+».

4. Вторая производная позволит выяснить направление выпуклости графика функции: . Поскольку при , то функция выпукла вниз (вогнута), а при график функции направлен выпуклостью вверх, так как .

5. Можно взять дополнительные точки и нарисовать график функции (рис. 4):

	-1
	-3
	-2		-18

Рис. 4. График функции .

Дата добавления: 2015-10-26