Парадокс Рассела.

Пусть имеется множество мужчин А = {a1, a2,..., a(p), a(k), a(p+1), a(p+2),..., a(t)}, здесь а(k) – парикмахер. И задано два подмножества:

А₁ = {a1, a2,..., a(p)} – подмножество мужчин, которые бреются сами.

А₂ = {a(p+1), a(p+2),..., a(t)} – подмножество мужчин, которые не бреются сами. Парикмахеру приказано брить всех тех и только тех мужчин, которые не бреются сами.

Тогда возникает парадокс: ни в множество А₁, ни в множество А₂ нельзя внести парикмахера (элемент а(k)). Так как приказано брить только тех, кто себя не бреет, то побрить себя нельзя. Не брить себя тоже нельзя, т.к. приказано брить всех, кто себя не бреет.

Эти и другие парадоксы возникают при определенных способах приписывания множествам числовых характеристик или при других условиях.

Приведем ряд основных аксиом о бесконечных множествах.

А1. Упорядоченное бесконечное множество, не являющееся счетным, считается несчетным.

А2. Каждое несчетное множество бесконечно.

А3. Каждое бесконечное подмножество счетного множества счетно.

А4. Бесконечное подмножество счетного множества счетно.

А5. Объединение и непустое пересечение счетной совокупности счетных множеств являются счетными множествами.

А6. Множества целых (Z) и рациональных чисел (Q) являются счетными множествами.

А7. Множество действительных чисел (R) и множество комплексных чисел (C) являются несчетными множествами.

Существует стандартная система аксиом теории множеств в рамках которой излагают все общепринятые в математике способы рассуждений. Эта система позволяет строить все математические объекты на основе пустого множества. Такая система носит название системы аксиом Цермело—Френкеля (ZF). Аксиоматика ZF позволяет определять и реализовывать теоретико-множественные операции.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 6.1. Установим взаимно-однозначное соответствие между множеством N ² и множеством A отрицательных чисел.

Решение. Необходимо построить соответствие G. Областью отправления будет N ², а областью прибытия – A. Теперь необходимо построить график Ф. При создании пар < n ², - n > и включении их в Ф будет получено искомое соответствие Г = <Ф, N ², A >, n = {1, 2, 3, …}.

Пример 6.2. Установить взаимно-однозначное соответствие между сегментами [ a, b ] и [ x, y ].

Решение. Выбирается произвольная точка плоскости С и через нее проводятся линии, проходящие через два сегмента (рис. 6.1). Это позволяет установить взаимно-однозначное соответствие между любыми произвольными интервалами, полусегментами вида [ a, b), [ x, y), или (a, b ], (x, y ].

Рис. 6.1. Пример установления взаимно-однозначного соответствия

Пример 6.3. Установить взаимно-однозначное соответствие между произвольными полусегментами [ a, b), и [ x, y).

Решение. Создадим произвольное взаимно-однозначное соответствие Г = < Ф, (a, b), (x, y)> между интервалами (a, b), (x, y) и добавим к графику Ф кортеж < a, x >. Тогда соответствие Г₁ = < Ф È {< a, y >}, [ a, b), [ x, y)> будет искомым.

Пример 6.4. Имеем множество A, состоящее из всех точек прямой линии, и множество B, состоящее из всех точек полуокружности x ² + (y – 1) ² = 1, y < 1 с центром в точке (0, 1) (рис. 6.2.). В связи с тем, что y < 1, концы полуокружности (точки (1, 1) и (-1, 1)) не принадлежат к ней.

Рис. 6.2. Пример установления взаимно-однозначного соответствия

Решение. Устанавливаем взаимно-однозначное соответствие между множествами A и B следующим образом. Каждой точке a_i прямой ставим в соответствие ту точку b_i полуокружности в которой эту окружность пересекает луч, соединяющий центр круга с точкой a_i.

Пример 6.5. Показать, что множество Q всех пар натуральных чисел счетно.

Примечание. Высотой кортежа < a, b > называется натуральное число a + b.

Решение. Известно, что имеется n – 1 кортежей данной высоты n (n > 1). Перечислим их:

< 1, n – 1 >, < 2, n – 2 >, …, < n – 1, 1 >

Обозначим через Q_n множество всех кортежей высоты n. Тогда видно, что Q есть сумма счетного множества конечных множеств Q_n, т.е. счетное множество.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что такое упорядоченное бесконечное множество?

2. Приведите способы упорядочивания бесконечных множеств.

3. Поясните понятия «интервал» и «сегмент».

4. Что такое соответствие подобия?

5. Поясните понятие сечения. Приведите примеры.

6. Поясните работу принципа трансфинитной индукции.

7. Каким образом можно сравнить два упорядоченных бесконечных множества?

8. Приведите примеры счетных и несчетных множеств.

9. В чем заключается проблема континуума?

10. Приведите эвристику, показывающую, что множесмтво всех точек прямой линии несчетно.

11. Приведите примеры алгебраических и трансцендентных чисел.

12. Приведите операции над мощностями конечных и бесконечных множеств.

13. В чем заключается теорема Кантора о кардинальных числах?

14. Приведите примеры антиномий.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

1. Постройте примеры упорядоченных бесконенчых множеств.

2. Постройте взаимно-однозначное соответствие между множествами натуральных чисел и их кубами.

3. Приведите операции над мощностями бесконечных множеств. Докажите их справедливость.

4. Постройте примеры подобных упорядоченных бесконечных множеств.

5. Докажите счетность или несчетность натуральных чисел.

6. Докажите несчетность множества точек прямой.

7. Постройте основные виды сечений упорядоченных бесконечных множеств.

8. Определите мощность множества точек квадрата.

9. Определите мощность множества точек куба.

10. Докажите существование несчетных множеств с различными мощностями.

11. Доказать на основе индукции истинность предиката P (n):

, для всех n Î N.

12. Определить пересечение всех множеств A_n рациональных чисел, абсолютная величина которых меньше 1/ n, где n – натуральное число.

13. Показать, что сумма конечного или счетного числа конечных или счетных множеств есть конечное или счетное множество.

14. Показать, что всякое бесконечное множество M содержит счетное подмножество.

15. Показать, что множество всех пар натуральных чисел счетно.

16. Доказать или опровергнуть, что множество всех рациональных, т.е. целых и дробных чисел, счетно.

17. Показать, что среди действительных чисел нет наибольшего и наименьшего числа.

18. Определить, чему равна сумма счетного числа бесконечных множеств.

19. Установите взаимно-однозначное соответствие между множествами N и R.

20. Установите взаимно-однозначное соответствие между двумя произвольными объектами вида:

[ x, +¥), [ y, +¥);

(x, +¥), (y, +¥);

(-¥, x), (-¥, y).

21. Установите взаимно-однозначное соответствие между интервалом (-p, p) и R.

22. Покажите, что между множествами N и [0, 1] нельзя установить взаимно-однозначное соответствие.

23. Приведите примеры трансцедентных чисел.

24. Приведите примеры алгебраических чисел.

25. Докажите, что если A – счетное множество и S Î N ², то M^S является счетным множеством.

Дата добавления: 2015-10-26