Электрические цепи однофазного синусоидального тока.

Читайте также:

Другие разновидности асинхронных двигателей с вытеснением тока. Асинхронные двигатели отечественного производства
И их электрические реакции
Кратности начального пускового момента и пускового тока.
Линейная и объемная скорости кровотока.
Мосты переменного тока.
Необходимо помнить, что растения нуждаются в воде, а для освещения необходимо электричество. Старайтесь держать электрические провода и прибора вдали от растений и воды.
Необходимо помнить, что растения нуждаются в воде, а для освещения необходимо электричество. Старайтесь держать электрические провода и приборы вдали от растений и воды.

Глава 1.

Линейные электрические цепи постоянного тока.

Задача 1.1

На рис. 1.1 показана схема электрической цепи с резисторами, сопротивления которых R₁ = 18 Ом, R₂ = 30 Ом, R₃ = 20 Ом. Определить токи ветвей, если напряжение U = 120 В.

Решение

Решение проводим методом свертывания. Эквивалентное сопротив-ление разветвленного участка цепи:

Общее сопротивление цепи:

В соответствии с законом Ома ток:

Напряжение на зажимах параллельных ветвей:

Или на основании второго закона Кирхгофа:

Токи ветвей:

Задача 1.2

Пользуясь принципом взаимности, определить ток I₃ в схеме цепи рис. 1.2, а, если источник ЭДС E₃ будет включен в ветвь с резистивным элементом R₅ (рис.1.2, б). E₃ = 48 В, R₂ = 16 Ом, R₃ = 8 Ом, R₄ = 16 Ом, R₅ = 8 Ом.

а) б)

Рис. 1.2

Решение

Определяем эквивалентное сопротивление R_ЭК цепи:

Тогда

Задача 1.3

Найти напряжение U₄ на сопротивлении R₄ (рис. 1.3), если известно, что Е = 60 В, R_вн = R₁ = = 2Ом, R₂ = 4 Ом, R₃ = 1 Ом, R₄ = = 3 Ом.

Рис. 1.3

Решение

Эквивалентное сопротивление последовательно соединенных сопротивлений R₃ и R₄:

R₃₄ = R₃ + R₄ = 1+3 = 4 Ом.

Эквивалентное сопротивление параллельно соединенных сопротивлений R₂ и R₃₄ найдем из соотношения 1/ R₁₂ = 1/ R₂ +1/ R₃₄, откуда

R₁₂ = R₂ R₃₄ / R₂ + R₃₄ = 4∙4 / 4+4 = 2 Ом.

По закону Ома для замкнутой цепи найдем силу тока в неразветвлённой части цепи:

I = Е/(R_вн + R₁ + R₁₂) = 60/(2 + 2 + 2) = 10 А.

При этом падение напряжения между узлами 1 и 2 U₁₂ = I · R₁₂ = 10·2 = 20 В.

Сила тока в ветви с сопротивлениями R₃ и R₄

I₃₄ = U_l₂/ (R₃ + R₄) = 20/(1 + 3) = 5 А,

а падение напряжения на сопротивлении R₄: U₄ = I₃₄ ∙ R₄ = 5∙3= 15 В.

Задача 1.4

В схеме цепи рис. 1.4 определить напряжение U_AB, если R₁ = 30, R₂ = 5 Ом,

R₃ = 20 Ом, R₄ = 10 Ом. Значение ЭДС E = 45 В.

Решение

Для определения U_AB нужно найти токи I и I₁. Применяя метод свертывания, найдем R_ЭК _DB. Очевидно, резистивные элементы с сопротивлениями 5 и 10 Ом соединены последовательно, а с сопротивлением 30 Ом - параллельно:

Тогда I = 45/30 = 1,5 А. Так как соотношение сопротивлений двух параллельных ветвей с сопротивле-ниями 30 и 15 Ом 2: 1, то ток I₁ = = 1 А и будет вдвое больше тока I₂. Зная токи I₁ и I, обходим контур ABCA (мысленно замыкая его) и составляем уравнение по второму закону Кирхгофа:

Задача 1.5

В электрической цепи, схема которой приведена на рис. 1.5, а, известны ЭДС E = 30 В и все сопротивления R₁₂ = 8 Ом, R₂₃ = 12 Ом, R₃₁ = 12 Ом, R₄ = 5,5 Ом, R₅ =7 Ом, R₆ = 2 Ом. Определить силу тока в ветви с источником ЭДС.

а) б)

Рис. 1.5

Решение

Заменив треугольник сопротивлений 123 звездой сопротивлений (рис. 1.5, б), найдем сопротивления звезды:

R₁ = R₁₂R₃₁ /(R₁₂ + R₂₃ + R₃₁) = 8·12 / (8 +12 +12) = 3 Ом;

R₂ = R₁₂R₂₃ / (R₁₂ + R₂₃ + R₃₁) = 8·12 / (8 +12 +12) = 3 Ом;

R₃ = R₂₃R₃₁ /(R₁₂ + R₂₃ + R₃₁) = 12·12 / (8 +12 +12) = 4,5 Ом.

Сопротивление между точками 1 и 4:

R₁₄ = R₁ + Ом.

Сила тока в ветви с источником ЭДС Е:

I = E / (R₆ + R₁₄) = 30 / (2 + 8) = 3 А.

Задача 1.6

В электрической цепи, изображенной на рис. 1.6, а, E₁ = 6 В, E₂ = 3 В, R₁ = R₂ = = R₃ = 10 Ом. Найти силу тока в ветви с сопротивлением R₃.

Рeшение

Перейдя от источников ЭДС к источникам тока, получим

а) б)

Рис. 1.6

эквивалентную схему, изображенную на рис. 1.6, б, где

Ј₁ = E₁ / R₁ = 6 / 10 = 0,6 А; g₁ = 1 / R₁ = 1 / 10 = 0,1 См;

Ј₂ = E₂ / R₂ = 3 / 10 = 0,3 А; g₁ = 1 / R₂ = 1 / 10 = 0,1 См.

Источники тока образуют один эквивалентный источник тока (рис. 1.6, в),

в) г)

Рис. 1.6

где Ј_экв’ = Ј₁ + Ј₂ = 0,6 + 0,3 = 0,9 А; g_экв = g₁ + g₂ = 0,1 + 0,1 = 0,2 См.

Перейдя от источника тока (рис. 1.6, в) к источнику ЭДС, получим схему цепи (рис. 1.6, г), эквивалентную исходной, где E_экв = Ј_экв / g_экв = 0,9 / 0,2 = 4,5 В,

R_экв = 1 / g_экв = 1 / 0,2 = 5 Ом.

Искомая сила тока: I = E_экв / (R_экв + R₃) = 4,5 / (5 + 10) = 0,3 А.

Задача 1.7

В электрической цепи (рис. 1.7) E₁ = 50 В, E₂ = 10 В, R_i₁ = 0,4 Ом, R_i₂ = 1 Ом, R₁ = 3 Ом, R₂ = R₃ = 2 Ом. Требуется определить токи в ветвях.

Решение

В схеме два узла и три ветви. Следовательно, по первому закону Кирхгофа необходимо составить одно уравнение, а по второму – два. Обозначим на схеме электрической цепи узлы, токи в ветвях и стрелками произвольно укажем их положительные направ-ления. Выберем два незави-симых контура и стрелками покажем направления их обхода. Составим уравнение по первому закону Кирхгофа для первого узла:

I₁ + I₂ – I₃ = 0.

Составим уравнения по второму закону Кирхгофа для выбранных независимых контуров:

(R₁ + R_i1)· I₁ + R₃ · I₃ = E₁,

– (R₂ + R_i2)· I₂ – R₃ · I₃ = – E₂.

Полученные уравнения образуют систему независимых уравнений с тремя неизвестными:

I₁ + I₂ – I₃ = 0,

3,4 I₁ +2 I₃ = 50,

–3 I₂ – 2 I₃ = –10.

Решив эту систему, будем иметь: I₁ = 10 А, I₂ = – 2 А, I₃ = 8 А. По полученным знакам токов устанавливаем, что действительные направления токов I₁ и I₃ совпадают, а тока I₂ – противоположно произвольно выбранным положительным направлениям.

Проверку правильности расчета токов осуществляют по балансу мощностей.

Задача 1.8

Найти ток в ветви с источником ЭДС E₂ в электрической цепи, схема которой приведена на рис. 1.8, а, если параметры цепи такие же как в примере 1.7.

Рис. 1.8, а

Решение

Приняв E₂ = 0, получим схему, показанную на рис. 1.8, б.

Рис. 1.8, б

Для определения частичного тока , созданного в ветви источником ЭДС E₁ найдем вначале напряжение между узлами 1 и 2:

В.

Частичный ток

= А.

Ток направлен от узла 1 к узлу 2.

Приняв E₁ = 0, получим схему, приведенную на рис. 1.8, в.

Рис. 1.8, в

Частичный ток в рассматриваемой ветви найдем по закону Ома:

= А.

Ток направлен от узла 2 к узлу 1. Действительный ток в ветви I₂ равен разности частичных токов I₂ = – = 4,33 – 2,33 = 2 А. Он направлен от узла 1 к узлу 2.

Задача 1.9

Найти токи в ветвях электрической цепи, схема которой приведена на рис. 1.9, если параметры ее такие же, как и в примере 1.7.

Рис. 1.9

Решение

Заземлим нижний узел, присвоив ему номер 0, а верхнему узлу - номер 1 (рис. 1.9). Система узловых уравнений в рассматриваемом примере состоит только из одного уравнения:

g₁₁φ₁ = J₁.

Для определения узлового тока узла 1 целесообразно от источников ЭДС перейти к источникам тока:

J₁' = E₁ /(R_i1 + R₁)= E₁g₁,

J₂' = E₁ /(R_i2 + R₂)= E₂g₂.

Тогда

J₁ = J₁' + J₂' = E₁g₁ + E₂g₂ = E _l/(R_i1 + R₁) + E₂ /(R_i2 + R₂) ≈ 18 А.

Определим собственную проводимость узла 1:

g₁₁ = g₁ + g₂ + g₃ = 1 /(R_i₁ + R₁) + 1/(R_i₂ + R₂) + 1/ R₃ ≈ 1,13 См.

Подставив g₁₁ и J₁ в уравнение g₁₁ φ₁ = J₁, найдем потенциал узла 1:

φ₁ = J₁ / g₁₁ = 18/1,13 ≈ 16 В.

Определим токи в ветвях. Для этого запишем значение потенциала φ₁, двигаясь от узла 0 к узлу 1 по ветви с источником ЭДС Е₁:

φ₁ = φ₀ – R_i₁I₁ + E_l – R₁I₁, откуда с учетом того, что φ₀ = 0, получим

I₁ = (E₁ - φ₁)/(R_i₁ + R₁) = (50 - 16)/(0,4 + 3) = 10 A.

Для ветвей с сопротивлением R₃ и источником ЭДС Е₂ аналогично получим:

φ₁ = φ₀ + R₃I₃, откуда I₃ = φ₁ / R₃ = 8 А, φ₁ = φ₀ + R_i2I₂ + Е₂ + R₂I₂. Тогда

I₂ = (φ₁ - E₂)/(R_i₂ + R) = (16 - 10)/(1 + 2)= 2 A.

Уравнение баланса мощностей:

E₁I₁ - Е₂I₂ = I₁² (R₁ + R_i1) + I₂² (R₂ + R_i2) + I₃²R₃;

50∙10 – 10∙2=100∙(3 + 0,4) + 4∙(1+ 2) + 64∙2;

480 Вт = 480 Вт.

Задача решена правильно

Задача 1.10

В электрической цепи, схема которой приведена на рис. 1.10, дано: E₁ = 6 В, E₂= 3 В, R₁ = R₂ = R₃ = = 1 Ом. Требуется опреде-лить токи в ветвях.

Рис. 1.10

Решение

В схеме цепи два независимых контура. Произвольно обозначим на схеме положительные направления контурных токов I_/ и I_// стрелками, выбранные сопротивления контуров R₁₁ = R₁ + R₃ = 1 + 1 = 2 Ом, R₂₂= R₂+ R₃ = 1 + 1= 2 Ом. Взаимные сопротивления R₁₂ = R₂₁ = – R₃ = – 1 Ом. Контурные ЭДС E₁ = E₁ = 6 В, E₁₁ = E₂ = – 3 В.

Система контурных уравнений: R₁₁ I_/+ R₁₂ I_//= E₁,

R₂₁I_/+ R₂₂ I_// = E₁₁,

Подставив найденные значения в систему контурных уравнений, получим:

2∙ I₁ – I_// = 6,

– I₁ + 2∙ I_// = –3.

Из первого уравнения системы: I_// = 2 I₁ – 6. Подставив I_// во второе уравнение получим – I₁ + 4 I₁ – 12 = – 3, откуда I₁ = 3 А, тогда I_// = 2 I₁ – 6 = 2·3 – 6 = 0.

Сила токов в ветвях: I₁ = I_/ = 3 А, I₂ = I_// = 0, I₃ = I₁ – I₂ = 3 – 0 = 3 А.

Задача 1.11

Определить токи в ветвях электрической цени, изобра-жённой на рис. 1.11, методом контурных токов, если Е₁ = = 50 В, Е₂ = 75 В, J = 2 А, R₁ = 30 Ом, R₂ = 50 Ом.

Рис. 1.11

Решение

Независимые контуры и обход по ним выберем так, как показано стрелками на рис. 1.11. Тогда уравнение, связывающее контурные токи (I₁₁ и I₂₂) и ЭДС, имеет вид:

I₁₁ ·(R₁ + R₂) + I₂₂ · R₁₂ = Е₁ + Е₂,

где I₂₂ = J, R₁₂=R₂.

Из этого уравнения находим:

I₁ = I₁₁ = А; I₂ = I₁ + J = 0,31 + 2 = 2,31 А.

Задача 1.12

Определить токи в ветвях электрической цепи (рис. 1.12) методом узловых потенциалов, если E_l = 20 В, E₂ = 30 В, E₃ = 2 В, E₄ = 1,2 В, E₅ = 5,6 В, R₁ = = 50 Ом, R₂ = 10 Ом, R₃ = 20 Ом, R₄ =10 Ом, R₅ = 100 Ом, R₆ = 50 Ом, R₇ = = 20 Ом.

Решение

В тех случаях, когда в цепи имеется ветвь с идеальным источником ЭДС, целесообразно считать заземленным один из узлов именно этой ветви. Примем равным нулю потенциал узла 3, тогда потенциал узла 1 равен E₁ = φ₁ = 20 B.

Общее число требующихся для решения задачи уравнений уменьшается на одно, т. е. достаточно следующих уравнений:

g₂₁ φ₁ + g₂₂ φ₂ + g₂₄ φ₄ = J_II; (12.1)

g₄₁ φ₁ + g₄₂ φ₂ + g₄₄ φ₄ = J_I_V.

Рис. 1.12

Определим собственные и взаимные проводимости узлов:

g₂₂ = 1/ R₃ + 1/ R₄ + 1/ R₆ = 1 / 10 + 1 /20 + 1 /50 = 0,17 См;

g₄₄ = 1/ R₄ +1/ R₅ +1/ R₇ = 1/20 + 1/10 + 1/20 = 0,2 См;

g₁₂ = g₂₁ = -1/ R₆ = -1 /50 = -0,02 См;

g₂₄ = g₄₂ = -1/ R₄ = -1 /20 = -0,05 См;

g₁₄ = g₄₁ = -1/ R₇ = -1 /20 = -0,05 См.

Определим узловые токи:

J_II = Е₃ / R_з - E₄ / R₄ = 2/10 -1,2/20 = 0,14 А;

J_I_V = E₄ / R₄ + Е₅ / R₅ = 1,2/20 + 5,6/10 = 0,62 А.

Подставим полученные результаты в систему уравнений (12.1):

-0,02 ∙ 20 + 0,17 φ₂ - 0,05 φ₄ = 0,014; (12.2)

-0,05 ∙ 20 - 0,05 φ₂ + 0,2 φ₄ = 0,62.

Решив систему уравнений (12.2), определим потенциалы узлов 2 и 4:

φ₂ = 6 В, φ₄ = 9,6 В.

Пользуясь законом Ома, определим токи в ветвях:

I₁ = 0,2 А; I₂ = 0,2 А; I₃ = 0,4 А; I₄ = 0,12 А; I₅ = 0,4 А; I₆ = 0,28 А;

I₇ = 0,52 А.

Ток в ветви с источником ЭДС Е₁ определяется no первому закону Кирхгофа:

I_Е₁ = I₆ + I₇ + I₈ - I₂ = 0,2 + 0,28 + 0,52 - 0,2 = 0,8 А

Или

I_E₁ = I₆ + I₃ + I₅ - I₂ = 0,2 + 0,4 + 0,4 - 0,2 = 0,8 А.

Уравнение баланса мощностей показывает, что мощность источников ЭДС примерно равна мощности нагрузки.

Задача 1.13

В схеме электрической цепи, приведенной на рис. 1.13, найти ток I₂, если звестно, что E_l = 10 В, Е₂ = 2 В, R₁ = R₂ = R₃ = 1 Ом.

Решение

Используем метод эквивалентного генератора. Разорвем ветвь электрической цепи в точках а, б и найдем напряжение между точками разрыва:

Е_экв = U_аб = Е₁R₃ /(R₁ + R₃) = 10 ∙ 1/(1+1) = 5 B.

Найдем сопротивление между точками разрыва:

R_экв = R_аб = R₁R₃ /(R_l + R₃) = 1 ∙ 1/(1 + 1) = 0,5 Ом.

Тогда I₂ = (U_a_б - Е₂)/(R_аб + R₂) = (Е_экв - Е₂)/(R_экв + R₂) = (5 - 2)/(1 +0,5) = 2 A.

Задача 1.14

Определить ток I₅ в измерительной диагонали неуравновешенного моста (рис. 1.14), воспользовавшись методом эквивалентного генератора, если E = 6 В, R₁ = R₂ = 1 кОм, R₃ = 4 кОм, R₄ = 2 кОм и R₅ = 2,17 кОм.

Рис. 1.14

Решение

В соответствии с теоремой об эквивалентном генераторе воздействие всей цепи на рассматриваемую ветвь с резистором R₅ можно заменить воздействием эквивалентного генератора (рис. 1.14, б), у которого:

E_эк = U_ab_хх; R_эк = R_ab_вх.

Для определения напряжения U_ab_хх разомкнем ветвь ab с резистором R₅

(рис. 1.14, в):

Сопротивление R_ab_вх определяем по схеме рис. 1.14, г:

Ток диагонали находим из схемы рис. 1.14, д:

Ответ: I₅ = 0,25 Ом.

Задача 1.15

В цепи (рис. 1.15) E = 20 В, J = 2 А, R = 15 Ом, R₁ = 85 Ом. Определить токи, проверить баланс мощностей.

Решение

Выберем положительное направление токов, составим уравнения по законам Кирхгофа. Цепь содержит три ветви (В = 3), два узла (У = 2), один источник тока (ИТ = 1). Число уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа:

У-1 = 1,

а по второму Закону Кирхгофа:

М = В-ИТ-У = 1.

Для узла а: I₁ - J - I = 0.

Для контура, не содержащего источник тока:

IR + I₁R₁ = E,

Решая систему, получаем: I = -1,5 A, I₁ = 0,5 A.

Составляем баланс мощностей: JU_ab + EI = I₂R + I₁²R₁,

предварительно определяя: JU_ab = I₁R₁ = 42,5 В.

Подставляя данные, имеем 42,5∙2+20∙(-1,5) = (-1,5)²∙15+0,5²∙85 или 85 = 85. (Задачу можно решить и другим способом, применив преобразование источника тока в источник ЭДС).

Задача 1.16

В цепи (рис. 1.16) определить сопротивление относительно зажимов 1-1’ в режиме холостого хода (зажимы 2-2’ разомкнуты) и короткого замыкания (зажимы 2-2’ соединены между собой). R₁ = 160 Ом, R₂ = 40 Ом, R₃ = 40 Ом, R₄ = 120 Ом.

Ответ: 1. Режим холостого хода R_э = 120 Ом.

2. В режиме короткого замыкания R_э = 72 Ом.

Задача 1.17

В цепи (рис. 1.17) R₁ = 10 Ом, R₂ = R₃ = R₅ = 25 Ом, R₄ = 50 Ом, U = 120 В. Определитьтоки в ветвях цепи и показания вольтметра, включен-ного между точками с и d, считая, что его сопротивление во много раз превышает сопротивление каждого из элементов цепи. Показать, что если R₂ / R₄ = R₃ / R₅, то показания вольтметра V₁ равно нулю.

Ответ: U_cd = j_c - j_d = 0.

Задача 1.18

К зажимам двухполюсника, внутренняя схема которого неизвестна, подается постоянное напряжение, измеряемое вольтметром. При двух различных значениях этого напряжения измерены два соответствующих значения (см. табл.). Определить параметры генератора, эквивалентного двухполюснику.

U,B I,A

Задача 1.19

Определить показания вольтметра (рис. 1.19), сопротивление которого велико по сравнению с R₁ и R₂.

E₂

E₁

5 Ом

40 В

10 В

Рис. 1.19

5 Ом

Ответ: 15 B.

Задача 1.20

В схеме моста (рис. 1.20) известны сопротивления резисторов R₁ = 1300 Ом, R₂ = 800 Ом, R₃ = 400 Ом. Сопротивление гальванометра R_г = 600 Ом. Через сопротивление R₁ протекает ток I ₁= 1 мА. К мосту приложено напряжение U = 2,5 В. Найти R₄?

Рис. 1.20

Ответ: 750 Ом.

Задача 1.21

Методом узловых напряжений рассчитать токи в цепи (рис. 1.21).

Указание. Если потенциал точки 4, являющейся общей для ЭДС E₁ и E₂, принять равным нулю (V₄=0), то V₃=-= E₁, V₄= -E₂ и для решения задачи достаточно составить всего одно уравнение узловой точки 1.

Ответ: I₁ = 2,25 мА, I₂ =1,4 мА, I₃ = = 0,85 мА, I₄ =0,75 мА, I₅ =0,1 мА, I₆ = 1,5 мА.

Задача 1.22

Дано: цепь (рис. 1.22) E₁ = = 100 В, E₂ = 150 В, E₃ = 28 В, J = = 2 мА, R₂ = 2 кОм, R₃ = 4 кОм, R₄ = 6 кОм, R₅ = 8 кОм. Простейшим способом рассчитать токи всех ветвей.

Ответ: I₁ =3 мА, I₂ =5 мА, I₃ =3 мА, I₄ =6 мА, I₅ =8 мА.

Глава 2.

Электрические цепи однофазного синусоидального тока.

Задача 2.1

По известному комплексному току İ = (6 + j 8) А записать выражение для его мгновенного значения.

Решение

Находим: I = = 10 А; I_m = I = 14,1 А; ψ = arctg(8/6) = 53°7', следовательно, i (t) =14,1 sin(ω t + 53°7') А.

Задача 2.2

Найти комплексную амплитуду и комплекс действующего значения тока, если его мгновенное значение описывается выражением i (t) = 14,1 sin(ω t + 30°) А.

Решение

Находим: İ_m = 14,1e ^j^30°А, I = I_m / = 10 А, İ = 10е ^j³⁰^°А.

Задача 2.3

В сеть напряжением U = 220 В и частотой f = 50 Гц включается поочередно реостат с сопротивлением 10 Ом, индуктивная катушка с индуктивностью L = = 32 мГн и конденсатор емкостью 317 мкФ. Определить для каждого случая токи в приемниках, построить векторные диаграммы.

Рис. 2.3

Решение

Схемы замещения цепей представлены на рис. 2.3, а, б, в.

Комплексные сопротивления

Направление вектора на комплексной плоскости выбираем по оси +1, тогда = 220e^j^° = 220 В.

Комплексные действующие значения токов:

Мгновенные значения токов:

Векторные диаграммы построены на рис. 2.3, г, д, е.

Задача 2.4

Напряжение и ток пассивного двухполюсника равны = (20 + j40) В,

İ = (5 + j3) А. Построить векторную диаграмму на комплексной плоскости. Найти мгновенное напряжение и ток.

Решение

На комплексной плоскости с ортами +1 и + j строим векторы комплексных тока İ и напряжения (рис. 2.4). Длины векторов пропорциональны в выбранном масштабе модулям комплексных действующих значений напряже-ния и тока:

Их начальные фазы:

Комплексные действующие напряжение и ток в показательной форме:

Комплексные амплитуды напряжения и тока:

Мгновенные напряжения и ток:

Задача 2.5

В сеть напряжением 220 В включены последовательно катушка с активным сопротивлением 10 Ом и индуктивностью 159 мГн, а так же батарея конденсаторов. Определить емкость батареи, при которой в цепи установится резонанс напряжений. Найти ток в цепи и напряжение на индуктивном и емкостном элементах. Построить топографическую диаграмму напряжений.

Решение

Схема замещения цепи представлена на рис. 2.5, а. Сопротивление ее реактив-ных элементов при резонансе равны: Lω = 1/(C_рез ω). Отсюда

C_рез = 1/(Lω ²) = 63,5 мкФ и X_L = X_C = 50 Ом.

Комплексное входное сопротивление схемы при резонансе будет чисто активным Ток

Напряжение на индуктивном и емкостных элементах равны между собой и значительно превышают входное напряжение:

Поэтому внезапное установление резонанса напряжений в цепях может вызвать аварийную ситуацию, привести к пробою изоляции и т.д. Топографическая диаграмма напряжений при резонансе приведена на рис. 2.5, б.

Задача 2.6

Определить силу тока, падения напряжений на элементах и построить векторную диаграмму для цепи, схема которой показана на рис. 2.6, а, если известно, что U =120 В, ψ_u= 0, R = 6 Ом, L = 25,5 мГн, f = 50 Гц.

Решение

Находим:

x_L = ωL =2π f L =2∙3,14∙50∙25,5∙10 ^-3= 8 Ом;

Z = R + jx_L = 6 + j 8 = 10е ^j ^53° Oм;

İ = Ù / Z = 120/(10е ^j ^53°)= 12e ^- ^j ^53° А;

Ù_R = R İ = 6∙12e ^- ^j ^53° = 72е ^- ^j ^53°В;

Ù_L = jх_L İ = 8∙12е^- ^j ^53°е ^j ^90°= 96e ^j ³⁷^°В.

Векторная диаграмма приведена на рис. 2.6, б. Ток в рассматриваемой цепи отстает по фазе от приложенного к ней напряжения на угол φ = 53°.

а) б)

Рис. 2.6

Задача 2.7

Определить силу тока, падения напряжений на элементах и построить векторную диаграмму для цепи, схема которой показана на рис. 2.7, а, если известно, что U = 240 В, ψ_u = 0, R = 60 Ом, С = 40 мкФ, f = 50 Гц.

Pешение

Находим:

x_C = 1/(ωC) = 1/(2π fC) = 1/(2∙3,14∙50∙40∙10^-6) = 80 Ом;

Z = R – jx_C = 60 – j 80 = 100e ^{– j 53}^°Ом;

а) б)

Рис. 2.7

İ = Ù / Z = 240/(100e ^{– j 53°}) = 2,4 e ^j ⁵³^°A;

Ù_R = İ R = 60∙2,4 e ^j ^53°= 144 e ^j ^53°B;

Ù_C = - İ jх_C = 80∙2,4 e ^j ⁵³^°e ^- ^j ⁹⁰^° = 192 e ^– ^j ³⁷^°B.

Векторная диаграмма приведена на рис. 2.7, б. Ток в рассматриваемой цепи опережает приложенное к ней напряжение на угол φ = 53°.

Задача 2.8

Определить значение емкости С конденсатора, при котором в цепи рис. 2.8, а. установится резонанс токов. Найти входное сопротивление цепи при резонансе, а также токи ветвей. Построить векторную диаграмму токов. Напряжение сети U = = 120 В, а параметры цепи равны R = 3 Ом, X_L = 4 Ом.

Решение

Условием резонанса токов является равенство модулей реактивных проводимостей ветвей: В_L = В_С. Для рассматриваемой схемы:

Отсюда

Входное сопротивление цепи можно найти иначе. Так как реактивные проводимости ветвей равны, а активная проводимость второй ветви:

то

Ток в неразветвленной части цепи:

Ток ветвей:

Проверка:

Из векторной диаграммы, изображенной на рис. 2.8, б, видно, что I₂ = I₁_p, но их векторы направлены противоположно. Комплексный ток в неразветвленной части цепи I = I₁_a. Вектор тока İ совпадает по направлению с вектором входного напряжения .

Задача 2.9

В сеть напряжением U = 120 В и частотой f = 50 Гц включена индуктивная катушка с сопротивлением R = 12 Ом и индуктивностью L = 66,2 мГн. Ее последовательная схема замещения изображена на рис. 2.9, а. Определить комплексный ток, значения полной, активной и реактивной мощностей. Построить топографическую диаграмму напряжений, треугольники сопротивлений и мощностей.

Рис. 2.9

Решение

Индуктивное сопротивление катушки:

Комплексное сопротивление:

Комплексный ток:

Комплексная мощность:

Откуда P = 300 Вт, Q = 520 вар, S = 600 ВА. Эти мощности могут быть найдены иначе.

Полная мощность

Активная мощность

Реактивная индуктивная мощность

Напряжение на активном элементе

Напряжение на индуктивном элементе

Вектор тока и топографическая диаграмма напряжений построены на рис. 2.9, б, треугольники сопротивлений и мощностей - на рис. 2.9, в.

Задача 2.10

В сеть напряжением U = 220 В и частотой f = 50 Гц включены последовательно соединенные батарея конденсаторов емкостью C = 290 мкФ и резистор с сопротивлением R = 5 Ом (рис. 2.10, а). Определить комплексный ток, полную, активную и реактивную мощности. Построить векторную диаграмму.

Рис. 2.10

Решение

Комплексное сопротивление:

Комплексные напряжение и ток:

Комплексная мощность:

Полная, активная и реактивная мощности:

Векторная диаграмма построена на рис. 2.10, б.

Вектор напряжения совпадает с вектором тока, вектор напряжения отстает от вектора тока на 90°.

Задача 2.11

Найти напряжение _cd в цепи (рис. 2.11, а), если параметры цепи равны R = X_L = X_C = 10 Ом, а U_ab = 100 В. Построить топографическую диаграмму напряжений.

а) б)

Рис. 2.11

Решение

Составляем уравнение по второму закону Кирхгофа для контура adca:

Отсюда

Вектор напряжения _cd (выходное напряжение) опережает вектор напряжения _ab (входное напряжение) на угол 90°, их модули равны. Такая схема носит название фазосдвигающей. Построение топографической диаграммы напряжений (рис. 2.11) производим в следующем порядке:

1) строим вектор входного напряжения _ab, общего для обеих параллельных ветвей;

2) строим векторы токов İ₁ и İ₂;

3) принимаем _b = 0 и помещаем точку b в начало координат;

4) потенциалы точек c и d соответственно равны _с= jX_Lİ₁ = _cb,

_d=- jX_Cİ₂ =_db, поэтому вектор _cd опережает вектор тока İ₁ на угол 90°, а вектор _db отстает от вектора тока İ₂ на тот же угол 90°;

5) потенциал точки a равен _a= _c + R₁İ₁ и _a= _d + R₂İ₂ следовательно, вектор

_ac= R₁İ₁ совпадает с вектором тока İ₁, а вектор _ad= R₂İ₂ совпадает с вектором тока İ₂;

6) входное напряжение _вх=_ab цепи равно сумме комплексных напряжений на реактивном и активном элементах каждой ветви.

Из векторной диаграммы видно, что U_cd = U_ab, но вектор _cd опережает вектор _ab на 90°.

Задача 2.12

Цепь, состоящая из последовательно соединенных катушки с активным сопротивлением R = 50 Ом и индуктивностью L = 14,9 мГн, а также конденсатора емкостью С = 1,7 мкФ, подключена к источнику синусоидального напряжения, амплитуда которого неизменна, а частота может плавно изменяться в пределах 0< f₀ <2 f_рез. Построить частотные характеристики элементов и всей цепи, а также зависимость I (f), если U = 100 В.

Решение