Предварительная подготовка. Перед началом проекта от учителя потребуется некоторая подготовительная работа:

Перед началом проекта от учителя потребуется некоторая подготовительная работа:

1. Запастись верёвкой. Самая лучшая — это верёвочка средней мягкости и средней толщины (3—6 мм). Длина верёвочки должна быть около 2 м (чем толще, тем длиннее). Лучше если верёвка будет из натурального материала.

2. Поиграть в эту игру с самим собой. Выкладывайте верёвки как угодно, следите только за тем, чтобы она сама себя не пересекала. Например, так класть верёвку не надо:

А так — очень даже можно:

3. Постарайтесь построить свою собственную теорию: как, глядя на верёвку на столе и палец, определить, зацепит ли верёвка палец при стягивании?

4. Как же использовать вашу теорию для организации описанной выше игры? Придумайте какой-нибудь сценарий и коротко запишите его. Когда вы всё это реально проделаете, можете читать дальше.

Теория игры в «Верёвочку»

Когда человек взялся за концы верёвки, то его руки и тело вместе с верёвкой образуют замкнутую кривую. Для наших целей мы будем изображать человека просто толстым чёрным отрезком этой кривой:

Как вы помните, мы кладём верёвку так, чтобы она никогда не пересекала себя, то есть наша замкнутая кривая должна быть без самопересечений. Замкнутая кривая без самопересечений на плоскости (в нашем случае на плоскости стола) разбивает эту плоскость на две части — внутри кривой и снаружи кривой. Изобразим палец ученика, поставленный на стол, просто жирной точкой:

Чтобы узнать, зацепится ли верёвка за палец, надо суметь определить, лежит ли точка внутри области или снаружи области. В простейшем случае все и так видно:

Вот более сложный случай:

Закрасим получившуюся область:

Пойдём из точки внутри области напрямик к какой-нибудь точке, лежащей снаружи:

При этом мы будем пересекать нашу кривую несколько раз (переходя из закрашенной области в незакрашенную). Поэкспериментируйте и запишите на бумаге, сколько пересечений возникает.

При подсчёте вы, конечно, можете отказаться от верёвки и рисовать кривую на бумаге (не забывайте только, что кривая должна быть без самопересечения). Обратите внимание, что мы с вами уже перешли от телесной верёвки к более абстрактному графическому её представлению в виде кривой на бумаге.

Итак, какие числа у вас получились?

Получилось ли число 0, или 4, или 10?

Если да, посмотрите на свою картинку повнимательнее.

Итак, у вас получаются только нечётные числа:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…

Можем ли мы объяснить, почему?

Проследим, что происходит, когда мы идём по пути от внутренней точки к наружной. Пересекая нашу кривую первый раз, мы попадаем наружу (из серой области — в белую). Пересекая границу ещё раз, мы попадаем внутрь (в серую область) и т. д.:

Значит, если мы попадаем из серой области в белую, то число пересечений границ будет:

1 + 2 + 2 + … + 2,

т. е. нечётным числом. Вот примеры картинок, которые могли у вас получиться:

Пусть теперь мы начали из точки снаружи (из белой области) и пришли в белую же. Сколько раз мы пересекали нашу кривую?

Вы, вероятно, уже поняли, что число пересечений может быть: 0, 2, 4, …

Вернёмся к исходной ситуации:

Идя от точки, расположенной внутри кривой, наружу, мы пересекаем нечётное число границ. Видя перед собой кривую, мы можем подсчитать число границ довольно легко. Это первое умение, которое нужно в нашей игре. Это, однако, ещё не всё. Ведь если ребёнок (пусть даже наугад) поставил палец внутрь кривой, нам не удастся сдёрнуть верёвку. Как тут быть?

Во всём обсуждении до настоящего места мы полностью (и сознательно) скрывали от вас одно обстоятельство. Оно состоит в том, что после того, как ребёнок поставил палец, вы можете взять верёвку за концы двумя различными способами:

При одном из этих способов точка окажется внутри, при другом — снаружи! Итак, поставив ребёнка у стола и выложив верёвку, как это описывалось раньше, мы оставляем за собой право выбора — подойти к столу справа или слева:

Теперь подытожим, все приведённые рассуждения. Чтобы правильно выбрать, с какой стороны стягивать верёвочку (если палец ученик уже поставил!), нужно сделать следующее:

1. Подойти с любой стороны (или просто это представить) и мысленно соединить концы верёвочки с этой стороны так, чтобы получилась замкнутая кривая без самопересечений.

2. Мысленно поставить точку с этой же стороны за проведённой границей кривой, то есть между проведённой линией и границей стола (листа, доски и пр.). Таким образом нужно поставить точку снаружи проведённой замкнутой кривой.

3. Сосчитать, сколько раз линия пересечёт кривую, если провести её от поставленной точки до пальца ученика (не забудьте посчитать и ту границу, которую вы мысленно провели!).

4. а) Если полученное число чётное, то палец ученика, как и выбранная точка, находится снаружи замкнутой кривой. Это означает, что верёвочку нужно стягивать как раз с той стороны, с которой мы подошли.

б) Если полученное число нечётное, значит, палец ученика стоит внутри проведённой кривой, и при стягивании с этой стороны верёвочка зацепится за палец. Это означает, что верёвочку нужно стягивать за концы, подойдя с другой стороны стола. Для проверки можно мысленно соединить концы верёвочки с другой стороны и снова провести аналогичные рассуждения.

Если, играя в «Верёвочку», палец ставите вы, то постарайтесь отрежиссировать ситуацию так, чтобы заранее знать, с какой стороны стола подойдет ребёнок. Значит, кроме математических знаний, нужно ещё некоторое искусство фокусника, «ловкость рук». Если дети постепенно начнут догадываться, что важно, откуда подходить, — это уже шаг к решению.

Ход проекта

Знакомство с игрой «Верёвочка»

Как и любой другой, данный проект должен начинаться с постановки практической цели. После этого ребята знакомятся с новой игрой. Лучше всего просто показать несколько партий. Для этого разложите верёвочку на столе. Напомним, верёвочка не должна пересекать сама себя, а изгибаться она может сколько угодно. Лучше вначале изгибать верёвочку так, чтобы игровая ситуация получалась не слишком простая. Теперь пригласите к доске кого-то из учащихся (лучше сильного ученика) и попросите поставить палец где-то между петель верёвочки. Объясните классу, что ваша задача стянуть веревочку за концы, не задев палец ребёнка. Конечно, у вас это получается. Теперь попросите ребёнка поставить палец в другое место и опять стяните верёвочку. Затем разложите верёвочку иначе и сыграйте ещё пару партий. После 3—4 партий у ребят начнёт складываться впечатление, что, как бы ни шла партия, игрок выигрывает всегда. Вот теперь поменяйтесь местами с ребёнком — разложите верёвочку, поставьте палец и попросите его стянуть верёвочку. Конечно, палец надо поставить так, чтобы у ребёнка не получилось стянуть верёвочку с наиболее удобной для него позиции. Если ребёнок догадается подойти с другого конца стола, значит, он уже уловил топологическую суть этой игры. Скорее всего, этого не произойдёт, и верёвочка зацепится за ваш палец. Так сыграйте с ребёнком ещё 2—3 партии. Учащиеся при этом заметят, что ребёнок гораздо чаще проигрывает. Так они догадаются, что учитель знает некий секрет, позволяющий в этой игре выигрывать. Можете в конце первого этапа урока озвучить эту мысль. Пообещайте ребятам, что в конце этого проекта ребята узнают этот секрет и сами смогут играть так, чтобы всегда выигрывать.

Парная игра в «Верёвочку»

Для начала предложите ребятам разбиться на пары и поиграть между собой. Проходя по классу, проверяйте, правильно ли ребята раскладывают верёвочку. В большинстве пар партии будут вначале проходить случайным образом — случайно выиграл или случайно проиграл. Однако сильные дети потихоньку начнут улавливать некоторые закономерности, особенно если верёвочку раскладывать, не слишком петляя. Чтобы оформить мысли сильных учащихся и заодно поддержать слабых, советуем вам по окончании этого этапа продолжить обсуждение игры «Верёвочка». Задача обсуждения — объяснить ребятам, какой выбор есть у того Игрока, который стягивает верёвочку. Как мы говорили, Игрок может взяться за концы верёвочки с одной стороны или подойти с противоположной стороны стола. В зависимости от этого игра приведёт к противоположному результату. Чтобы показать это, проведите ещё две партии у доски. Для этого возьмите две одинаковые верёвочки и разложите их на столе совершенно одинаково. Теперь пригласите к доске кого-то из учеников и попросите поставить в каждую верёвочку палец, так, чтобы пальцы стояли абсолютно одинаково. Можно вместо ученика использовать два одинаковых предмета, которые можно поставить в петли верёвочки, например, кусочек мела. Итак, получились две совершенно одинаковые исходные позиции. Теперь в первой позиции стяните концы верёвочки, подойдя с одной стороны, а во второй — с противоположной стороны. Ребята должны увидеть, что в одном случае вы выиграли, а в другом проиграли. Значит, стратегия Игрока в том, чтобы стягивать верёвочку, подходя с «правильной» стороны. Как же для любой партии увидеть эту правильную сторону? Отвечая на этот вопрос, стоит перейти к следующему этапу урока.

Дата добавления: 2015-10-31