Числовые последовательности.

СЕМИНАР 12

Понятие метрического пространства, метрика, определение числовой последовательности, способы задания последовательностей, монотонность и ограниченность последовательностей.

Вводная информация

Метрическое пространство.

Определение. Метрическим пространством называется пара , состоящая из некоторого множества и метрики . Метрика определяет отображение и удовлетворяет условиям:

1) тогда и только тогда, когда ;

2) (свойство симметричности метрики);

3) (неравенство треугольника).

Метрика задает расстояние между элементами (точками) множества (пространства) .

Числовые последовательности.

Определение. Числовой последовательностью (или последовательностью) называется множество чисел , полученное при отображении множества натуральных чисел в множество действительных чисел , при котором . Число называется элементом последовательности, а число его номером. Очевидно, множество является счетным множеством.

Основные способы задания последовательностей.

1. Задание с помощью формулы, например, или просто . Такая последовательность содержит числа .

2. Задание с помощью рекуррентного соотношения, например, . Такая последовательность состоит из чисел .

Последовательности , , , называются соответственно суммой, разностью, произведением и частным последовательностей и .

Определение. Последовательность называется постоянной, если все ее члены равны одному и тому же числу.

Определение. Последовательность называется монотонной, если она является неубывающей () или невозрастающей ().

Определение. Последовательность называется строго монотонной, если она является возрастающей () или убывающей ().

Последовательности типа называются колеблющимися.

Определение. Последовательность называется ограниченной сверху, если существует такое число , что все члены последовательности

меньше .

Определение. Последовательность называется ограниченной снизу, если существует такое число , что все члены последовательности

больше .

Определение. Последовательность называется ограниченной, если она ограничена одновременно и сверху и снизу.

Определение. Последовательность называется неограниченной, если для любого числа найдется такой ее член , что . (В случае неограниченной последовательности ее членов, удовлетворяющих этому свойству, будет бесконечно много).

ЗАДАЧИ

Дата добавления: 2015-07-08