Предел последовательности.

СЕМИНАР 13

Вычисление пределов последовательностей.

Вводная информация

Предел последовательности.

Определение. Последовательность называется сходящейся к числу , если такое, что при выполняется неравенство . Число называется пределом последовательности при и обозначается .

Определение. Если последовательность не имеет предела, то ее называют расходящейся.

Теорема. Последовательность не может иметь более одного предела.

Теорема. Сходящаяся последовательность ограничена.

Ограниченность последовательности является необходимым условием ее сходимости.

Определение. Будем говорить, что последовательность удовлетворяет условию Коши, если такое, что и справедливо неравенство . Последовательность , удовлетворяющая условию Коши, называется фундаментальной последовательностью.

Приведем эквивалентное определение такой последовательности.

Определение. Последовательность называется фундаментальной, если такое, что и верно неравенство .

Сформулируем достаточное условие сходимости.

Теорема (критерий Коши). Необходимым и достаточным условием сходимости последовательности является ее фундаментальность.

Иногда более удобно использовать другой критерий сходимости.

Теорема. Всякая монотонная и ограниченная последовательность сходится.

Пример 1 (второй замечательный предел).

.

Дата добавления: 2015-07-08