Метод решения несобственного интеграла с точкой разрыва на отрезке интегрирования

Такие примеры встречаются на практике относительно редко, поэтому ограничимся только обзором. Пример опять же будет, в известной степени, условным. Рассмотрим несобственный интеграл

.

На концах отрезка интегрирования всё хорошо. Но подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв прямо на отрезке в точке x = 1. Подынтегральная функция является четной, но это не имеет никакого значения, поскольку отрезок интервал интегрирования не симметричен относительно нуля.

Метод решения – тот же старый. Представим несобственный интеграл в виде суммы двух несобственных интегралов:

.

Интегралы правой части вам уже знакомы.

Решения и ответы:

Пример 2: Решение:

Пример 5: Решение:

Проведем замену:

Новые пределы интегрирования:

Пример 8: Решение:

Подынтегральная функция непрерывна на интервале .

Пример 11: Решение:

Подынтегральная функция непрерывна на всей числовой прямой. Представим интеграл в виде суммы двух интегралов:

Проверим сходимость интегралов правой части:

Сходится.

Сходится. Оба интеграла сходятся, значит, сходится и весь интеграл:

Ответ:

Примечание: Будет серьезной оплошностью сразу записать, что

,

пользуясь нечетностью подынтегральной функции и симметричностью интервала интегрирования. Стандартный алгоритм обязателен!!!

Пример 13: Решение:

Подынтегральная функция терпит бесконечные разрывы в точках

.

Представим данный интеграл в виде суммы двух интегралов:

Исследуем сходимость интегралов правой части:

Несобственный интеграл расходится, значит, расходится и весь интеграл.

Интеграл

- можно уже не проверять.

Ответ: интеграл

– расходится

Дата добавления: 2015-07-08