Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Производная функции, заданной параметрически.

Читайте также:
  1. Арифметические операции, функции, выражения. Арифметический оператор присваивания
  2. Виртуальное исследование цепи при заданной форме импульса
  3. Вторая производная
  4. График квадратичной, кубической функции, график многочлена
  5. Зернистые лейкоциты (гранулоциты) и их разновидности, количество, размеры, строение, функции, продолжительность жизни.
  6. Кинематика несвободной точки (движение по заданной траектории)
  7. Лекция 15. Сущность общения: его функции, стороны, виды, формы, барьеры

 

Не напрягаемся, в этом параграфе тоже всё достаточно просто. Можно записать общую формулу параметрически заданной функции, но, для того, чтобы было понятно, сразу запишем конкретный пример. В параметрической форме функция задается двумя уравнениями: . Частенько уравнения записывают не под фигурными скобками, а последовательно: , .

Переменная t называется параметром и может принимать значения от «минус бесконечности» до «плюс бесконечности». Рассмотрим, например, значение t =1 и подставим его в оба уравнения: . Или по человечески: «если икс равен четырем, то игрек равно единице». На координатной плоскости можно отметить точку (4; 1), и эта точка будет соответствовать значению параметра t =1. Аналогично можно найти точку для любого значения параметра «тэ». Как и для «обычной» функции, для американских индейцев и для параметрически заданной функции все права тоже соблюдены: можно построить график, найти производные и т.д.

В простейших случаях есть возможность представить функцию в явном виде. Выразим из первого уравнения параметр: – и подставим его во второе уравнение: . В результате получена обыкновенная кубическая функция.

 

В более «тяжелых» случаях, для которых и придумана параметрическая запись, такой фокус не проходит. Но это не беда, потому что для нахождения производной параметрической функции существует формула:

Находим производную от «игрека по переменной тэ»:

Все правила дифференцирования и таблица производных справедливы, естественно, и для буквы t, таким образом, какой-то новизны в самом процессе нахождения производных нет. Просто мысленно замените в таблице все «иксы» на букву «тэ».

Находим производную от «икса по переменной тэ»:

Теперь только осталось подставить найденные производные в нашу формулу:

Готово. Производная, как и сама функция, тоже зависит от параметра t.

Что касается обозначений, то в формуле вместо записи можно было просто записать без подстрочного индекса, поскольку это «обычная» производная «по икс». Но в литературе всегда встречается вариант , поэтому не будем отклоняться от стандарта.

 

 

Пример 6

Найти производную от функции, заданной параметрически

Используем формулу

В данном случае:

Таким образом:

Особенностью нахождения производной параметрической функции является тот факт, что на каждом шаге результат выгодно максимально упрощать. Так, в рассмотренном примере при нахождении я раскрыл скобки под корнем (хотя мог этого и не делать). Велик шанс, что при подстановке и в формулу многие вещи хорошо сократятся. Хотя встречаются, конечно, примеры и с корявыми ответами.

 

Пример 7

Найти производную от функции, заданной параметрически

Это пример для самостоятельного решения.

 

Для параметрически заданной функции также можно найти вторую производную, и находится она по следующей формуле: . Совершенно очевидно, что для того, чтобы найти вторую производную, нужно сначала найти первую производную.

 

Пример 8

Найти первую и вторую производные от функции, заданной параметрически

Сначала найдем первую производную.

Используем формулу

В данном случае:

Подставляет найденные производные в формулу. В целях упрощений используем тригонометрическую формулу :

 

В задаче на нахождение производной параметрической функции довольно часто в целях упрощений приходится использовать тригонометрические формулы. Помните их или держите под рукой, и не пропускайте возможность упростить каждый промежуточный результат и ответы. Зачем?

Сейчас нам предстоит взять производную от , и это явно лучше, чем находить производную от .

Найдем вторую производную.

Используем формулу: .

Посмотрим на нашу формулу. Знаменатель уже найден на предыдущем шаге. Осталось найти числитель – производную от первой производной по переменной «тэ»:

Осталось воспользоваться формулой:

Готово.

 

Для закрепления материала предлагаем еще пару примеров для самостоятельного решения.

 

Пример 9

Найти и для функции, заданной параметрически

 

Пример 10

Найти и для функции, заданной параметрически .

 

Надеюсь, это занятие было полезным, и Вы теперь с лёгкость сможете находить производные от функций, заданных неявно и от параметрических функций

 

 

Решения и ответы:

Пример 3: Решение:






Таким образом:

 

Пример 5: Решение:






 

Пример 7: Решение:

Используем формулу

В данном случае:

Таким образом:

 

Пример 9: Решение: Найдем первую производную.

Используем формулу: . В данном случае:

Найдем вторую производную, используя формулу .

 

Пример 10: Решение:

Используем формулу: . В данном случае:


Таким образом:

.

Вторая производная:


.

 

 


Дата добавления: 2015-07-08; просмотров: 301 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: При этом сам значок предела перемещаем в показатель. | Производные функций одной переменной. | Производная суммы равна сумме производных | Производная произведения функций | Производная частного функций | Производная сложной функции | Сложные производные. Логарифмическая производная. Производная степенно-показательной функции | Сложные производные | Логарифмическая производная | Производная степенно-показательной функции |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Производная функции, заданной неявно| Производная функции в точке

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.014 сек.)