Вибір в умовах ризику

1.4

У цьому розділі припускатимемо, що з кожною альтернативою А можна зв'язати деяку репрезентативну випадкову характеристику ХА і функцію розподілу цієї характеристики FA. Такий характер мають завдання вибору, описані в цій і подальших главах, до глави 5 включно: вибір повністю описується імовірнісним розподілом репрезентативної випадкової характеристики. У цьому сенсі можна говорити про завдання вибору з альтернатив, представлених імовірнісними розподілами. Таке завдання називають завданням вибору в умовах ризику(choice under risk). В главі 6 розглядається загальніше завдання вибору в умовах невизначеності(choice under uncertainty).

Оскільки кожній альтернативі А зіставляється деяка репрезентативна випадкова характеристика Х_А з функцією розподілу F_A, умовимося також писати V(Х_A) і V(F_A), тобто вважати функцію V заданою на безлічі випадкових величин або функцій розподілу. Таку ж угоду приймемо і для відношення переваги ≥:.

Детермінованим еквівалентом(certainty equivalent) альтернативи А називається число е=е(А), таке, що V(X_A) = V(e). Якщо, наприклад, альтернативи вибору - деякі підприємства, що дають випадкові доходи Х_А (називатимемо такі альтернативи іграми або лотереями), то природно розуміти детермінований еквівалент як ціну участі в грі. (См також вправа 5.13.)

Поставимо тепер питання про те, якими хотілося б бачити відношення переваги і критерії вибору в умовах ризику. Є певні властивості, яким, мабуть, повинні відповідати будь-які раціональні переваги. Передусім, до таких властивостей відноситься правило "чим більше, тим краще". Розглянемо, наприклад, дві гри(лотереї). Підкидається монета. У першій грі(назвемо її А) можна виграти 1000 дол. при випаданні герба(з вірогідністю 1/2) або не виграти нічого при випаданні решки. У грі В можна виграти 1100 дол. при випаданні герба або нічого інакше. Природно припускати, що будь-який раціональний вибір, якщо є можливість вибирати між іграми А і В, буде на користь гри В. На мал. 1.2 показані функції розподілу величини виграшу в іграх А і В, F_A(x) і F_B(x).

Можна помітити, що графік F_B або співпадає з графіком F_A, або лежить нижче його(на інтервалі від 1000 до 1100). Таке загальне правило: зміщенню розподілу вірогідності в область великих значень відповідає пониження графіку функції розподілу.

Рис. 1.2. Функції розподілу виграшів в лотереї А і В

Нехай F(x) і G(x) - дві не співпадаючі функції розподілу. Говорять, що функція розподілу F(x) домінує функцію розподілу G(x) в сенсі стохастичного домінування першого порядку(позначимо це F >_IG), якщо для будь-кого x F(x) ≤ G(x). Скорочено використовуватимемо також термін перше стохастичне домінування.

Можна показати, що якщо F > _I G, то існують випадкові величини X і Y з функціями розподілу F(x) і G(x) відповідно, такі, що X ≥ Y, причому при деяких випадкових результатах має місце строга нерівність(вправа 1.6). Це ще одно пояснення з приводу того, чому стохастичне домінування першого порядку є аналогом правила "чим більше, тим краще" для випадкових грошових альтернатив.

Розумно зажадати узгодженості відношення переваги із стохастичним домінуванням першого порядку, або, як то кажуть, монотонності відносно першого стохастичного домінування. Сформулюємо відповідну умову на переваги.

(М₁) Якщо F_a>_IF_B, то А > В.

Так зване неприйняття ризику (risk aversion) теж часто розглядається як природну умову на переваги відносно ризикових альтернатив. Проте воно не так безперечне, як правило "чим більше, тим краще"(М₁). Розглянемо, наприклад, вибір між грою А, в якій можна виграти 1000 дол. з вірогідністю 1/2 і нічого з вірогідністю 1/2, і грою В, що полягає в детермінованому отриманні 500 дол. Помітимо, що математичні очікування виграшів рівні. Як правило, коли такий вибір пропонують групам людей, більшість відповідає, що вони вибрали б В, проте знаходяться і такі, хто віддав перевагу б А. Якщо, проте, хтось вважає за краще В, можна було б запропонувати йому вибір і грою А, в якій можна виграти 21000 дол. з вірогідністю 1/2 і програти 20000 дол. інакше(математичні очікування виграшів як і раніше дорівнюють 500 дол.).

Багато хто, мабуть, просто відмовиться грати в гру А’, не кажучи вже про те, щоб віддати перевагу їй над грою В. У багатьох ситуаціях відмова від ризику виглядає раціонально, і в реальних економічних ситуаціях часто неприйняття ризику домінує. Наприклад, на фондовому ринку облігації, ризик яких оцінюється ринком як більш високий, мають і велику доходність: попит на них нижчий і нижчий ціни, тобто інвестори в цілому демонструють неприйняття ризику.

Сформулюємо умову неприйняття ризику в наступному виді.

Говоритимемо, що функція розподілу FA отримана з функції розподілу FB таким, що зберігає середнє розсіюванням (mean preserving spread), якщо F_A(x) і F_B(x) - дві не співпадаючі функції розподіли, математичні очікування яких рівні, т_A=т_B=т, і F_A(x) > F_B(x) для будь-якого х < т, F_A(x) < F_B(x) для будь-якого х > т. (RA) Якщо функція розподілу F_A отримана з функції розподілу F_B таким, що зберігає середнє розсіюванням, то F_B> F_A.

Рис. 1.3 і 1.4 ілюструють цю властивість. Якщо функції розподілу мають щільність, то вони можуть виглядати так, як зображені на мал. 1.3. Щільність з більшою дисперсією(суцільна лінія на графіці) відповідає функції розподілу F_A, отриманій таким, що зберігає середнє розсіюванням. Функції розподіли, побудовані по такій щільності, показані на рис. 1.4. Функція F_A має більший розкид, даючи "більше ризиковий" розподіл, тому, з точки зору того, що відкидає ризик особи, представляє менш вигідну альтернативу. На малюнках зображені симетрична щільність і розподіли, проте визначення застосоване до довільних розподілів.

Рис. 1.3. Дві нормальних щільності, що має однакове середнє тонні і різні дисперсії

Ще одна умова, яку ми введемо, об'єднує в собі умови стохастичного домінування першого порядку і неприйняття ризику. Нехай знову F(x) і G(x) - дві неоднакові функції розподілу. Говоритимемо, що функція розподілу F(x) домінує функцію розподілу G(x) в сенсі стохастичного домінування другого порядку, якщо для будь-якого t

Скорочено використовуватимемо також термін друге стохастичне домінування. Введемо відповідну вимогу монотонності. (М_П) Якщо F_A>_IIF_A те А > В.

Очевидно, що якщо F_A>_IF_A, то F_A>_IIF_A. Крім того, рис. 1.4 показує, що з двох симетричних розподілів із загальним центром розподіл, що має менший розкид, домінує інше в сенсі другого стохастичного домінування. Дійсно, в силу симетрії, площа S₁, тонованій області, що лежить між двома функціями від, - до точки їх перетину m, для будь-кого кінцевого t не менше площі S₂, тонованій області від точки перетину до t. Інтеграл, що фігурує у визначенні, дорівнює різниці площ S₂ - S₁, яка, як ми бачимо, не позитивна.

З усього сказаного виходить, що вимога (М_II) є сильнішою, ніж(М_I) і (RА), тобто можна написати:

(М_II)=>(М_I);

(М_II)=>(RА).

Провести доказ надається читачеві.

Рис. 1.4. Друге стохастичне домінування

Треба помітити, що на рис. 1.3 і 1.4 зображені нормальна щільність і функції розподілу. Для нормальних розподілів більший розкид визначається більшою дисперсією, тобто якщо дисперсія одного розподілу більша, то воно домінує інше в сенсі другого стохастичного домінування. Проте звичайно це не так. При інших розподілах велика дисперсія не може гарантувати наявність стохастичного домінування. Проте вірно зворотне: якщо F_A>_IF_B і m_A=m_B, то σ_А≤σ_В, де через т и σ з відповідними індексами позначені, як і вище, математичне очікування і середні квадратичні відхилення (вправа 2.7).

Дата добавления: 2015-07-08