Разности второго порядка - это

Разности порядка k - это

(10.9)

Для выполнения расчетов исходные данные и расчитанные разности удобно располагать в таблице следующего вида.

i	xi	Yi	Dyi	D^2yi	…	D^nyi
…
n

К примеру, для зависимости вида y_i = x_i³ + x_i² при x_i = i (i = 0, …, 5) такая таблица имеет следующий вид:

i	xi	Yi	Dyi	D^2yi	D^3yi	D^4yi	D^5yi
							-
						-	-
					-	-	-
				-	-	-	-
			-	-	-	-	-

Формула Ньютона имеет два вида (иногда каждый из видов называют отдельной формулой и говорят о первой и второй формуле Ньютона). Первый вид формулы предназначен для вычисления значений интерполирующего многочлена в левой половине интервала [ a, b ], а второй вид - в правой его половине.

Для первого вида формулы Ньютона вводится величина , где x - значение аргумента, для которого необходимо вычислить значение интерполирующего полинома. Тогда значение полинома равно

Под N_n (x) понимается значение интерполяционного многочлена P_n(x), расчитанное по формуле Ньютона в точке x.

Для второго вида формулы Ньютона вводится величина . Тогда значение полинома равно

Пример 3. Для таблично заданной функции из примера 1 используя интерполяционную формулу Ньютона вычислить значение интрполяционного полинома при x= 2.25.

Занесем исходные данные в таблицу, рекомендуемую для выполнения расчетов по интерполяционной формуле Ньютона и вычислим все необходимые разности. Получим

i	xi	yi	Dyi	D^2yi	D^3yi	D^4yi
	0.5		-2	3.5	-3.5
	1.0		1.5		-0.5	-
	1.5	2.5	1.5	-0.5	-	-
	2.0			-	-	-
	2.5		-	-	-	-

Поскольку заданное значение x= 2.25 находится ближе к концу интервала интерполяции (средина интервала - x_ср= (0.5 + 2.5) / 2 = 1.5) - воспользуемся вторым видом интерполяционной формулы Ньютона. Для этого вычислим значение

q = (x – x₄) / h = (2.25 - 2.5) / 0.5 = - 0.5

и воспользуемся формулой (10.11) для n = 4

Подставляя в нее значения из таблицы, получим

Дата добавления: 2015-07-08