Интерполяционный многочлен Лагранжа для произвольных узлов

Для решения предложенной задачи зафиксируем одну ординату , а остальные будем считать равными нулю (рис.1.2), т.е. заданным значениям абсцисс ставятся в соответствие значения ординат

Из свойств многочленов следует, что многочлен, обращающийся в нуль в разных точках, т.е. имеющий различных корней, должен делиться на каждую из разностей:

Рис.1.2

а следовательно, и на произведение этих разностей, т.е. его степень не может быть ниже . В таком случае многочлен должен иметь вид

(1.3)

Из условия определим значение const

,

таким образом находим

(1.4)

В полученном выражении никакого особого преимущества не имеет, мы можем приписать эту особую роль любому , т.е. если абсциссам поставить в соответствие значения , указанные в любой из следующих строк:

то выражение для многочлена, принимающего при соответствующих значениях абсцисс численные значения, выписанные в одной из строк, будет аналогично рассмотренному, т.е.

(1.5)

Общее решение является суперпозицией (суммой) частных решений (1.5)

(1.6)

Это и есть интерполяционный многочлен Лагранжа. По наборам исходных пар (1.1) формула (7.6) позволяет достаточно просто составить «внешний вид» многочлена.

Используя обозначение

, (1.7)

формуле Лагранжа можно придать более сжатый вид. Продифференцируем по

;

при имеем:

. (1.8)

Формула Лагранжа с учетом (1.7) и (1.8) примет вид:

или (1.9)

В рассмотренном случае предполагалось, что точки расположены на отрезке произвольно. Рассмотрим формулу Лагранжа, для равноотстоящих значений абсцисс.

Дата добавления: 2015-07-08