Постановка задачи. Лінійна, поліноміальна інтерполяція.

Заняття 16

Лінійна, поліноміальна інтерполяція.

Постановка задачи

Предположим, что задано различных точек плоскости:

(1.1)

Требуется найти функцию , значения которой при данных значениях абсциссы в точности равны соответствующим ординатам заданных точек:

Т.е. нужно найти линию, описываемую уравнением , проходящую через данную точку (рис.1.1).

Рис.1.1

Заметим, что здесь приходится различать два случая:

1) интерполяцию (от лат. interpolar — подновлять) — восстановление промежуточных значений функции внутри интервала по ряду известных ее значений;

2) экстраполяцию (лат. приставка extra означает «вне») — когда не вошедшее в исследование значение лежит вне интервала .

Очевидно, интерполяция более надежна, чем экстраполяция.

Вообще говоря, существует бесконечное число линий, проходящих через заданную точку. Потребуем, чтобы искомая линия была простейшей, т.е. значения функции, задающие эту линию, должны находиться при помощи простейших операций (сложения, умножения). Этому требованию отвечают многочлены (полиномы), т.е. выражения вида:

(1.2)

Зная численные значения коэффициентов многочлена, мы можем найти его ординату при любом значении переменной . Наконец, из двух многочленов условимся считать простейшим тот, степень которого ниже.

Итак, приходим к задаче о полиномиальной интерполяции: пусть даны различных чисел и соответствующих им чисел , требуется найти многочлен наименьшей возможной степени, удовлетворяющий условиям:

Дата добавления: 2015-07-08