Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Разложение функции в степенной ряд. Пусть дана функция f(x), которую требуется разложить в степенной ряд

Читайте также:
  1. II. Основные задачи и функции
  2. II. Признаки, ресурсы и функции власти.
  3. II. Функции
  4. II.Синдром дисфункции синусового узла (СССУ) I 49.5
  5. III. Органы, объединяющие эндокринные и неэндокринные функции
  6. III. Функции политологии. Возрастание роли политических знаний в жизни общества.
  7. III. Функции Совета

Пусть дана функция f(x), которую требуется разложить в степенной ряд, то есть представить в виде

f(x) = a0 + a1x + a2x2 +a3x3 + ... + anxn + ... (5.8.1)

Задача состоит в определении коэффициентов an (n = 0, 1, 2, 3, ...) .

Для этого, дифференцируя равенство (5.8.1) почленно, последовательно найдем:

f/(x) = 1 . a1 + 2a2x + 3a3x2 + ... + nanxn–1 + ...;

f//(x) = 1 . 2a2 + 2 . 3 . a3x + ... + (n–1) nanxn–2 + ... ;

f///(x) = 1 . 2 . 3 a3 + ... + (n–2)(n–1)nanxn–3 + ...;

................................................................................

f(n)(x) = 1 . 2 . 3 . ... . (n–2)(n–1)nan + ... .

Полагая в этих равенствах и в (5.8.1) х = 0, получим:

f(0) = a0; f/(0) = a1; f//(0) = 1 . 2a2 = 2!a2; f///(0) = 1 . 2 . 3 a3 = 3!a3; ... ;

f(n)(0) = 1 . 2 . 3 . ... . (n–1) . nan = n!an; ... .

Тогда a0 = f(0);

Подставляя найденные выражения в равенство (5.8.1), получим

(5.8.2)

Это разложение функции f(x) в ряд (5.8.2) называется рядом Маклорена.

Если функция f(x) имеет производные всех порядков в окрестности точки а, то ее можно разложить в ряд Тейлора:

В приближенных вычислениях с помощью рядов используются разложения в ряды Маклорена элементарных функций: ex, ln(1 + x), sin x, cos x, (1+x)m.

К этому вопросу вам необходимо законспектировать с выводом разложения в ряд Маклорена функции и затем записать (без вывода) ряды Маклорена функций sin x, cos x, ln (1+x), (1+x)m.

 


Дата добавления: 2015-07-07; просмотров: 137 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Примеры| Основные механизмы СН ЭС

mybiblioteka.su - 2015-2021 год. (0.005 сек.)