Читайте также: |
|
Пусть дана функция f(x), которую требуется разложить в степенной ряд, то есть представить в виде
f(x) = a0 + a1x + a2x2 +a3x3 + ... + anxn + ... (5.8.1)
Задача состоит в определении коэффициентов an (n = 0, 1, 2, 3, ...) .
Для этого, дифференцируя равенство (5.8.1) почленно, последовательно найдем:
f/(x) = 1 . a1 + 2a2x + 3a3x2 + ... + nanxn–1 + ...;
f//(x) = 1 . 2a2 + 2 . 3 . a3x + ... + (n–1) nanxn–2 + ... ;
f///(x) = 1 . 2 . 3 a3 + ... + (n–2)(n–1)nanxn–3 + ...;
................................................................................
f(n)(x) = 1 . 2 . 3 . ... . (n–2)(n–1)nan + ... .
Полагая в этих равенствах и в (5.8.1) х = 0, получим:
f(0) = a0; f/(0) = a1; f//(0) = 1 . 2a2 = 2!a2; f///(0) = 1 . 2 . 3 a3 = 3!a3; ... ;
f(n)(0) = 1 . 2 . 3 . ... . (n–1) . nan = n!an; ... .
Тогда a0 = f(0);
Подставляя найденные выражения в равенство (5.8.1), получим
(5.8.2)
Это разложение функции f(x) в ряд (5.8.2) называется рядом Маклорена.
Если функция f(x) имеет производные всех порядков в окрестности точки а, то ее можно разложить в ряд Тейлора:
В приближенных вычислениях с помощью рядов используются разложения в ряды Маклорена элементарных функций: ex, ln(1 + x), sin x, cos x, (1+x)m.
К этому вопросу вам необходимо законспектировать с выводом разложения в ряд Маклорена функции и затем записать (без вывода) ряды Маклорена функций sin x, cos x, ln (1+x), (1+x)m.
Дата добавления: 2015-07-07; просмотров: 137 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Примеры | | | Основные механизмы СН ЭС |