Разложение функции в степенной ряд. Пусть дана функция f(x), которую требуется разложить в степенной ряд

Пусть дана функция f (x), которую требуется разложить в степенной ряд, то есть представить в виде

f (x) = a ₀ + a ₁ x + a ₂ x ² + a ₃ x ³ +... + a_nxⁿ +... (5.8.1)

Задача состоит в определении коэффициентов a_n (n = 0, 1, 2, 3,...).

Для этого, дифференцируя равенство (5.8.1) почленно, последовательно найдем:

f ^/(x) = 1 ^. a ₁ + 2 a ₂ x + 3 a ₃ x ² +... + na_nx^{n –1} +...;

f ^//(x) = 1^. 2 a ₂ + 2 ^. 3 ^. a ₃ x +... + (n –1) na_nx^{n –2} +...;

f ^///(x) = 1 ^. 2 ^. 3 a ₃ +... + (n –2)(n –1) na_nx^{n –3} +...;

................................................................................

f ⁽ⁿ⁾(x) = 1 ^. 2^. 3 ^.... ^. (n –2)(n –1) na_n +....

Полагая в этих равенствах и в (5.8.1) х = 0, получим:

f (0) = a ₀; f ^/(0) = a ₁; f ^//(0) = 1 ^. 2 a ₂ = 2! a ₂; f ^///(0) = 1 ^. 2 ^. 3 a ₃ = 3! a ₃;...;

f ⁽ⁿ⁾(0) = 1 ^. 2 ^. 3^.... ^. (n –1) ^. na_n = n! a_n;....

Тогда a ₀ = f (0);

Подставляя найденные выражения в равенство (5.8.1), получим

(5.8.2)

Это разложение функции f(x) в ряд ( 5. 8. 2 ) называется рядом Маклорена.

Если функция f (x) имеет производные всех порядков в окрестности точки а, то ее можно разложить в ряд Тейлора:

В приближенных вычислениях с помощью рядов используются разложения в ряды Маклорена элементарных функций: e^x, ln(1 + x), sin x, cos x, (1+ x)^m.

К этому вопросу вам необходимо законспектировать с выводом разложения в ряд Маклорена функции и затем записать (без вывода) ряды Маклорена функций sin x, cos x, ln (1+x), (1+x)^m.

---

Дата добавления: 2015-07-07