Разложение функции в степенной ряд. Пусть дана функция f(x), которую требуется разложить в степенной ряд

Пусть дана функция f(x), которую требуется разложить в степенной ряд, то есть представить в виде

f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² +a₃x³ + ... + a_nxⁿ + ... (5.8.1)

Задача состоит в определении коэффициентов a_n (n = 0, 1, 2, 3, ...) .

Для этого, дифференцируя равенство (5.8.1) почленно, последовательно найдем:

f^/(x) = 1 ^. a₁ + 2a₂x + 3a₃x² + ... + na_nx^n–1 + ...;

f^//(x) = 1 ^. 2a₂ + 2 ^. 3 ^. a₃x + ... + (n–1) na_nx^n–2 + ... ;

f^///(x) = 1 ^. 2 ^. 3 a₃ + ... + (n–2)(n–1)na_nx^n–3 + ...;

................................................................................

f⁽ⁿ⁾(x) = 1 ^. 2 ^. 3 ^. ... ^. (n–2)(n–1)na_n + ... .

Полагая в этих равенствах и в (5.8.1) х = 0, получим:

f(0) = a₀; f^/(0) = a₁; f^//(0) = 1 ^. 2a₂ = 2!a₂; f^///(0) = 1 ^. 2 ^. 3 a₃ = 3!a₃; ... ;

f⁽ⁿ⁾(0) = 1 ^. 2 ^. 3 ^. ... ^. (n–1) ^. na_n = n!a_n; ... .

Тогда a₀ = f(0);

Подставляя найденные выражения в равенство (5.8.1), получим

(5.8.2)

Это разложение функции f(x) в ряд (5.8.2) называется рядом Маклорена.

Если функция f(x) имеет производные всех порядков в окрестности точки а, то ее можно разложить в ряд Тейлора:

В приближенных вычислениях с помощью рядов используются разложения в ряды Маклорена элементарных функций: e^x, ln(1 + x), sin x, cos x, (1+x)^m.

К этому вопросу вам необходимо законспектировать с выводом разложения в ряд Маклорена функции и затем записать (без вывода) ряды Маклорена функций sin x, cos x, ln (1+x), (1+x)^m.

---

Дата добавления: 2015-07-07