Предел функции в точке и в бесконечности

Предел функции в бесконечности. С понятием предела числовой последовательности a_n = f (n) тесно связано понятие предела функции y = f (x) в бесконечности. Если в первом случае переменная n, возрастая, принимает лишь целые значения, то во втором случае переменная х, изменяясь, принимает любые значения.

Определение. Число А называется пределом функции y = f(x) при х, стремящемся к бесконечности, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа e > 0, найдется такое положительное число S> 0 (зависящее от e; S = S(e)), что для всех х таких, что çх ê> S, верно неравенство

ç f(x) – A ê <e.. (3.2.3)

Этот предел функции обозначается или при х ®¥.

Смысл определения остается тем же, что для предела числовой последовательности: при достаточно больших по модулю значениях х значения функции f (x) как угодно мало отличаются от числа А (по абсолютной величине).

y y

y =f(x) y = f(x)

A+e A+e

A 2 e A 2 e

A–e A–e

d d

O S x O S x ₀ –d x ₀ x ₀ +d x

Рис. 3.6 Рис. 3.7

Выясним геометрический смысл предела функции y = f (x) в бесконечности. Неравенство (3.2.3) ç f(x) – A ê <e. равносильно двойному неравенству A – e < f (x) < A +e, соответствующему расположению части графика в полосе шириной 2e (см. рис. 3.6).

Итак, число А есть предел функции y = f (x) при х ®¥, если для любого e >0 найдется такое число S > 0, что для всех х таких, что ç x ê> S, соответствующие ординаты графика функции f (x) будут заключены в полосе A – e < f (x) < A +e, какой бы узкой эта полоса не была.

Пример 5. Доказать, что

Решение. Для любого e >0 неравенство (3.2.3) или выполняется при

Итак, для любого e >0 существует такое число , что для всех х, таких, что ç x ê> S, будет верно неравенство ç f (x) – 5ê<e, где а это и означает, что

Замечание. Приведенное выше определение предела при х ®¥ предполагает неограниченное возрастание независимой переменной х по абсолютной величине. В то же время можно сформулировать понятие предела при стремлении х к бесконечности определенного знака, т.е. при х ®+¥ и при х ® – ¥. В первом случае основное неравенство (3.2.3) должно выполнятся для все х х таки х, что x > S, а во втором – для все х х таки х, что x < – S.

Предел функции в точке. Пусть функция y = f (x) задана в некоторой окрестности точки х ₀, кроме, быть может, самой точки х ₀.

Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х, стремящемся к х ₀ (или в точке х ₀ ), если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа e> 0, найдется такое положительное число d> 0 (зависящее от e, d = d (e)), что для всех х, не равных х ₀ и удовлетворяющих условию

ç х – х ₀ ê< d, (3.2.4)

выполняется неравенство

ç f (x) – A ê<e. (3.2.5)

Этот предел функции обозначается или f (x)® A при х®х₀.

Смысл определения предела функции f (x) в точке х₀ состоит в том, что для всех значений х, достаточно близких к х₀, значения функции f (x) как угодно мало отличаются от числа А (по абсолютной величине).

Рассмотрим геометрический смысл предела функции в точке. Как отмечалось выше, неравенство ç f (x) – A ê< e равносильно двойному неравенству A – e < f (x) < A +e, соответствующему расположению части графика в полосе шириной 2e (см. рис. 3.7). Аналогично неравенство çх®х₀ç<d равносильно двойному неравенству х₀ – d < x < x ₀+d, соответствующему попаданию точек х в d – окрестность точки х₀.

Число А есть предел функции f (x) при х®х₀, если для любого e>0 найдется такая d – окрестность точки х₀, что для всех х¹х₀ из этой окрестности соответствующие ординаты графика функции f (x) будут заключены в полосе А –e< y < A +e, какой бы узкой эта полоса не была.

Пример 6. Доказать, что

Решение. Пусть e = 0,1. Тогда неравенство (3.2.5) ç(2х+3) – 5 ê< 0,1 будет выполняться при çх–1ç<0,05. Аналогично при e = 0,01 то же неравенство (3.2.5) будет верно при çх – 1ç<0,005.

Для любого e>0 неравенство (3.2.5) ç(2х+3) – 5 ê<e будет выполняться при

Итак, при любом e >0 существует такое число (для e =0,1 d =0,05; для e =0,01 d = 0,005 и т. д.), что для всех х ¹1 и удовлетворяющих условию çх–1ç<d, верно неравенство ç f (x) – 5 ê<e, где f (x) = 2 x + 3; а это и означает, что

Замечание 1. Определение предела не требует существования функции в самой точке х ₀, ибо рассматривает значения х ¹х ₀ в некоторой окрестности точки х ₀. Другими словами, рассматривая , мы предполагаем, что х стремится к х₀, но не достигает значения х₀. Поэтому наличие или отсутствие предела при х®х₀ определяется поведением функции в окрестности точки х₀, но не связано со значением функции (или его отсутствием) в самой точке х₀.

Замечание 2. Если при стремлении х к х₀ переменная х принимает лишь значения, меньшие х₀, или наоборот – лишь значения, большие х₀, и при этом функция f (x) стремится к некоторому числу А, то говорят об односторонних пределах функции f (x) соответственно слева и справа Очевидно, что определение этих пределов будет аналогично рассмотренному выше при х®х₀, если вместо значений х, удовлетворяющих условию (3.2.4), при которых верно неравенство (3.2.5), рассматривать значения х такие, что х₀–d< х< х₀ при х®х₀– 0 (слева) или значения х такие, что х₀< x < x ₀+d при х®х₀+0 (справа).

Разумеется, если = , то .

Вопросы 4-7 изучаются самостоятельно.

8. Заключение: на лекции изучено и одно из основных понятий математического анализа - понятие функции, как абстрактное отражение взаимосвязи между явлениями любой природы, изучены простейшие свойства функций, а также одна из основных операций классической математики - предельного перехода. Вспомним основные положения лекции.

Контрольные вопросы:

Какие величины называются постоянными, переменными?

Перечислить способы задания функции?

Какие функции называются четными, нечетными?

Какие функции называются монотонными?

Определите ограниченную функцию.

Какие функции называются периодическими?

Какие функции называются явными, неявными?

Определите обратную функцию.

Какие функции называются сложными?

Как классифицируют функции?

10.Дайте определение предела функции в точке.

11.Определите бесконечно малую величину при х ® х ₀, х ®¥.

Дата добавления: 2015-07-07