Классификация функций

Функция называется явной, если она задана формулой, в которой правая часть не содержит зависимой переменной; например, функция y = x ² + 5 x + 1.

Функция y аргумента x называется неявной, если она задана уравнением F(x; y) = 0, не разрешенным относительно зависимой переменной. Например, функция y (y ³ 0), задана уравнением x ² + y ² – x = 0. (Заметим, что последнее уравнение задает две функции,

при y ³ 0, и при у < 0).

Обратная функция. Пусть y = f(x) есть функция от независимой переменной х, определенной на промежутке Х с областью значений Y. Поставим в соответствие каждому yÎY единственное значение х Î X, при котором f(x) = y. Тогда полученная функция x = j (y), определенная на промежутке Y с областью значений Х, называется обратной.

Так как традиционно независимую переменную обозначают через х, а функцию через y, то функция, обратная к функции y = f(x), примет вид y = j(x). Обратную функцию y = j (x) обозначают так же в виде y = f ^{– 1} (x) (аналогично с обозначением обратной величины). Например, для функции у = а^х обратной будет функция x = log _ay или (в обычных обозначениях зависимой и независимой переменных) y = log _ax.

Можно доказать, что для любой строго монотонной функции y = j(x) существует обратная функция.

y

		Графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов (на рис. 3.2 показаны графики взаимно обратных функций y = a^x и y =log ax при а>0). Сложная функция. Пусть функция y = f (u) есть функция от переменной u, определенной на множестве U с областью значений Y, а переменная u, в свою очередь, является функцией u = j(x) от переменной х, определенной на множестве Х с

y=a^x ₁ y= log _ax

o ₁ x

y=x

Рис. 3.2.

областью значений U. Тогда заданная на множестве Х функция y = f [j(x)] называется сложной функцией (или композицией функций, суперпозицией функций, функцией от функций).

Например, y =lgsi nx – сложная функция, так как ее можно представить в виде у=log u, где u =si n x.

Понятие элементарной функции. Из основных функций новые функции могут быть получены двумя способами при помощи: а) алгебраических действий; б) операций образования сложной функции.

Определение. Функции, построенные из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий и конечного числа операций образования сложной функции, называются элементарными.

Например, функция

является элементарной, так как здесь число операций сложения, вычитания, умножения, деления и образования сложной функции конечно.

Примерами неэлементарных функций являются функции у = çх ê, у = [х] – целая часть х.

Классификация функций. Элементарные функции делятся на алгебраические и неалгебраические (трансцендентные).

Алгебраической называется функция, в которой над аргументом проводится конечное число алгебраических действий. К числу алгебраических функций относятся:

а) целая рациональная функция (многочлен или полином):

y = a ₀ xⁿ + a ₁ x^{n– 1} +...+a_{n– 1} x + a_n;

в) дробно–рациональная функция – отношение двух многочленов;

с) иррациональная функция (если в составе операций над аргументом имеется извлечение корня).

Всякая неалгебраическая функция называется трансцендентной. К числу трансцендентных функций относятся функции: показательная, логарифмическая, тригонометрическая, обратные тригонометрические.

Пример 1. Найти область определения функций

а) y = – lg (2 x –3); б) y = log₃ sin x + ; в) y = arccos .

Решение: а) область определения функции Х найдем из системы неравенств откуда х >3/2 или Х = (3/2; ¥);

б) имеем систему Решая первое неравенство, получим 2p n < x <p+2p n; решая второе, найдем х ²£ 4, откуда ç х ê£ 2 и –2£ х £ 2. С помощью числовой оси (рис. 3.3) находим решение системы неравенств: 0< x £ 2, т. е. область определения функции Х = (0; 2];

2p – p – 2 0 2 p 2p

Рис. 3.3.

в) область определения найдем из неравенства откуда Так как при любом х, 1 + х² > 0, то перейдем к равносильному неравенству – 1 – х ² £ 2 х £ 1 + х ², откуда

или

Очевидно, что полученные неравенства справедливы при любом х, т.е. область определения функции Х = (– ¥; ¥).

Пример 2. Найти область значений функции:

а) y = sin x + cos x; б) .

Решение: а) преобразуем функцию

Так как синус любого угла по абсолютной величине не превосходит 1, т. е.

.

Итак, область значений функции . Область значений может быть найдена с помощью производной, рассматриваемой далее. Но можно поступить иначе: найти обратную функцию x = j(y), ее область определения Y, которая совпадает с областью значений Y данной функции.

Выразим х через y. Получим обратную функцию x = j(y), заданную неявно квадратным уравнением x ² y – 6 x + y = 0. Очевидно, область определения этой функции найдется из условия, чтобы дискриминант квадратного уравнения D = b ² – 4 ac был неотрицателен, т. е. 6² – 4 y ² ³ 0 или у² £ 9, çу ê£ 3 и – 3 £ у £ 3. Итак, область значений данной функции Y = [–3; 3].

Пример 3. Выяснить четность (нечетность) функций:

a) y = x – ctg³ x; б) ; в) y = (x – 1)² sin² x.

Решение: a) f (– x) = – x –ctg³(– x) = – x + ctg³ x=– (x– ctg³ x).

Так как f (– x) = – f (x), то данная функция нечетная;

б) f (– x) = (– x) (после преобразований).

Так как f (– x) = f (x), то данная функция четная.

в) f (– x) = (– x –1)² si n ²(– x) = (x + 1)² si n ² x.

Так как f (– x) ¹ f (x) и f (– x) ¹ – f (x), то данная функция общего вида, т. е. ни четная, ни нечетная.

Дата добавления: 2015-07-07