Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Классификация функций

Читайте также:
  1. A) отличие от сферы частичных функций личности;
  2. I. КЛАССИФИКАЦИЯ ПРЫЖКОВ С ПАРАШЮТОМ.
  3. I. КЛАССИФИКАЦИЯ ЭКОЛОГИЧЕСКИХ ФАКТОРОВ
  4. II. Классификация издержек в зависимости от объемов производства.
  5. II. Классификация клеток передних рогов
  6. II. КЛАССИФИКАЦИЯ НА ОСНОВАНИИ ФОРМЫ УПОТРЕБЛЕНИЯ
  7. III классификация и маркировка цветных сплавов.

Функция называется явной, если она задана формулой, в которой правая часть не содержит зависимой переменной; например, функция y = x2 + 5x + 1.

Функция y аргумента x называется неявной, если она задана уравнением F(x; y) = 0, не разрешенным относительно зависимой переменной. Например, функция y (y ³ 0), задана уравнением x2 + y2 – x = 0. (Заметим, что последнее уравнение задает две функции,

 

при y ³ 0, и при у < 0).

 

Обратная функция. Пусть y = f(x) есть функция от независимой переменной х, определенной на промежутке Х с областью значений Y. Поставим в соответствие каждому yÎY единственное значение х Î X, при котором f(x) = y. Тогда полученная функция x = j(y), определенная на промежутке Y с областью значений Х, называется обратной.

Так как традиционно независимую переменную обозначают через х , а функцию через y, то функция, обратная к функции y = f(x), примет вид y = j(x). Обратную функцию y = j(x) обозначают так же в виде y = f 1(x) (аналогично с обозначением обратной величины). Например, для функции у = ах обратной будет функция x = logay или (в обычных обозначениях зависимой и независимой переменных) y = logax.

Можно доказать, что для любой строго монотонной функции y = j(x) существует обратная функция.

y

       
   
Графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов (на рис. 3.2 показаны графики взаимно обратных функций y=ax и y=logax при а>0). Сложная функция. Пусть функция y=f(u) есть функция от переменной u, определенной на множестве U с областью значений Y, а переменная u, в свою очередь, является функцией u = j(x) от переменной х, определенной на множестве Х с
 
 


 

 

y=ax 1 y=logax

 

o 1 x

y=x

Рис. 3.2.

областью значений U. Тогда заданная на множестве Х функция y=f[j(x)] называется сложной функцией (или композицией функций, суперпозицией функций, функцией от функций).

Например, y=lgsinx – сложная функция, так как ее можно представить в виде у=log u, где u=sin x.

Понятие элементарной функции. Из основных функций новые функции могут быть получены двумя способами при помощи: а) алгебраических действий; б) операций образования сложной функции.

Определение. Функции, построенные из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий и конечного числа операций образования сложной функции, называются элементарными.

Например, функция

является элементарной, так как здесь число операций сложения, вычитания, умножения, деления и образования сложной функции конечно.

Примерами неэлементарных функций являются функции у = çх ê, у = [х] – целая часть х.

Классификация функций. Элементарные функции делятся на алгебраические и неалгебраические (трансцендентные).

Алгебраической называется функция, в которой над аргументом проводится конечное число алгебраических действий. К числу алгебраических функций относятся:



а) целая рациональная функция (многочлен или полином):

y = a0xn + a1xn–1+...+an–1x + an;

в) дробно–рациональная функция – отношение двух многочленов;

с)иррациональная функция (если в составе операций над аргументом имеется извлечение корня).

Всякая неалгебраическая функция называется трансцендентной. К числу трансцендентных функций относятся функции: показательная, логарифмическая, тригонометрическая, обратные тригонометрические.

Пример 1. Найти область определения функций

а) y = – lg(2x–3); б) y = log3 sin x + ; в) y = arccos .

 

Решение: а) область определения функции Х найдем из системы неравенств откуда х >3/2 или Х = (3/2; ¥);

б) имеем систему Решая первое неравенство, получим 2pn<x<p+2pn; решая второе, найдем х2£ 4, откуда çх ê£ 2 и –2£ х £ 2. С помощью числовой оси (рис. 3.3) находим решение системы неравенств: 0< x £ 2, т. е. область определения функции Х = (0; 2];

 

 


2p – p – 2 0 2 p 2p

Рис. 3.3.

в) область определения найдем из неравенства откуда Так как при любом х, 1 + х2 > 0, то перейдем к равносильному неравенству 1 – х2£ 2х £1 + х2, откуда

Загрузка...

или

Очевидно, что полученные неравенства справедливы при любом х, т.е. область определения функции Х = (– ¥; ¥).

Пример 2. Найти область значений функции:

а) y = sin x + cos x; б) .

 

Решение: а) преобразуем функцию

Так как синус любого угла по абсолютной величине не превосходит 1, т. е.

.

Итак, область значений функции . Область значений может быть найдена с помощью производной, рассматриваемой далее. Но можно поступить иначе: найти обратную функцию x = j(y), ее область определения Y, которая совпадает с областью значений Y данной функции.

Выразим х через y. Получим обратную функцию x = j(y), заданную неявно квадратным уравнением x2y – 6x + y = 0. Очевидно, область определения этой функции найдется из условия, чтобы дискриминант квадратного уравнения D = b2 – 4ac был неотрицателен, т. е. 62 – 4y2 ³ 0 или у2 £ 9, çу ê£ 3 и – 3 £ у £ 3. Итак, область значений данной функции Y = [–3; 3].

Пример 3. Выяснить четность (нечетность) функций:

a) y = x – ctg3x; б) ; в) y = (x – 1)2 sin2x.

Решение: a) f(–x) = –x –ctg3(–x) = –x + ctg3x=–(x–ctg3x).

Так как f(–x) = –f(x), то данная функция нечетная;

 

б) f(–x) = (–x) (после преобразований).

 

Так как f(–x) = f(x), то данная функция четная.

 

в) f(–x) = (–x –1)2 sin2(–x) = (x + 1)2 sin2x.

Так как f(–x) ¹ f(x) и f(–x) ¹ –f(x), то данная функция общего вида, т. е. ни четная, ни нечетная.

 

 


Дата добавления: 2015-07-07; просмотров: 132 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Основные свойства функции| Предел функции в точке и в бесконечности

mybiblioteka.su - 2015-2021 год. (0.012 сек.)