Основные свойства функции

Лекция №5

Тема: Предел и непрерывность функции

План:

1. Понятие функции. Основные свойства.

2. Классификация функций.

3. предел функции в точке и в бесконечности.

4. Бесконечно малые величины и их свойства (самостоятельно).

5. Бесконечно большие величины и их свойства (самостоятельно).

6. Основные теоремы о пределах (самостоятельно).

7. Непрерывность функции и свойства функций непрерывных в точке и на отрезке (самостоятельно).

8. Заключение и контрольные вопросы.

Цель лекции: Изучить основные понятия классической математики - понятия функции, предела функции в точке и в бесконечности, непрерывности функции в точке и на промежутке.

Литература:

1. Математика для экономистов ч. I, гл. 3, п.п. 3.1; 3.2.

2. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики, гл. 6, гл. 7, гл. 8.

3. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов, М., 1997, гл. 5, п.п. 5.3-5.5; гл.6 п.п.6.2 - 6.7.

Понятие функции. Основные свойства.

Дифференциальное и интегральное исчисление – основа математического анализа. Математический анализ – это обширная область математики с характерным объектом изучения (переменной величиной), своеобразным методом исследования (анализом посредством бесконечно малых или посредством предельных переходов),определенной системой основных понятий (функция, предел, производная, дифференциал, интеграл, ряд) и постоянно развивающимся аппаратом.

Центральные понятия дифференциального исчисления – производная и дифференциал – возникли при рассмотрении большого числа задач естествознания и математики. Важнейшие среди них – физическая задача определения скорости неравномерного движения и геометрическая задача построения касательной к кривой.

Операция, обратная дифференцированию называется интегрированием или, точнее, неопределенным интегрированием. Понятие определенного интеграла появилось при решении древних задач определения площадей и объемов геометрических фигур.

В настоящее время дифференциальное и интегральное исчисление являются могучим аппаратом для развития физики, механики, экономических наук, информатики и вычислительной техники.

Функция – это одно из основных математических и общенаучных понятий, выражающее зависимость между переменными величинами.

Каждая область знаний – физика, химия, биология, социология, информатика, лингвистика и т.д. – имеет свои объекты изучения, устанавливает свойства и, что особенно важно, взаимосвязи этих объектов, которые описываются с помощью функциональных зависимостей или функциями.

Понятие функции

Основные свойства функции

Постоянной величиной называется величина, сохраняющая одно и то же значение. Например, отношение длины окружности к ее диаметру есть постоянная величина, равная числу p.

Если величина сохраняет постоянное значение лишь в условиях данного процесса, то в этом случае она называется параметром.

Переменной называется величина, которая может принимать различные числовые значения. Например, при равномерном движении S = vt, где путь S и время t – переменные величины, а v – параметр.

Перейдем к понятию функции.

Определение. Если каждому элементу х множества Х (хÎ Х) ставится в соответствие вполне определенный элемент у множества Y (yÎ Y),то говорят, что на множестве Х задана функция y = f(x).

При этом х называется независимой переменной (или аргументом), y – зависимой переменной, а буква f обозначает закон соответствия.

Множество Х называется областью определения (или существования) функции, а множество Y – областью значений функции.

Если множество Х специально не оговорено, то под областью определения функции подразумевается область допустимых значений независимой переменной х, т. е. множество таких значений х, при которых функция y = f(x) вообще имеет смысл.

Например, область определения функции есть полуинтервал (– ¥; 10], так как 10 – х ³ 0; если же переменная х обозначает, предположим, время, то при естественном дополнительном условии х ³ 0 областью определения функции будет отрезок [0; 10].

Способы задания функции. Существуют несколько способов задания функции.

1. Аналитический способ, если функция задана формулой вида y = f(x). Этот способ наиболее часто встречается на практике. Так, функция , рассматриваемая выше, задана аналитически.

Не следует смешивать функцию с ее аналитическим выражением. Так, например, одна функция

имеет два аналитических выражения: х ² (при х > 0) и х + 3 (при х ³ 0).

2. Табличный способ состоит в том, что функция задается таблицей, содержащей значения аргумента х и соответствующие значения функции f(x), например, таблица логарифмов.

3. Графический способ состоит в изображении графика функции – множества точек (х, у) плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента х, а ординаты – соответствующие им значения функции у = f(x).

4. Словесный способ, если функция описывается правилом ее составления, например, функция Дирихле: f(x) = 1, если х – рационально; f(x) = 0, если х – иррационально.

Рассмотрим основные свойства функций.

1. Четность и нечетность. Функция y = f(x) называется четной, если для любых значений х из области определения f(–x) = f(x) и нечетной, если f(–x) = –f(x). В противном случае функция y = f(x) называется функцией общего вида.

Например, функция y = x ² является четной (так как f(–x) = (–x) ² = x ² и f(–x) = f(x)), а функция y = x ³ – нечетной (так как f(–x) = (–x) ³ = –x ³ и f(–x) = –f(x)).

В то же время, например, функция у = х ² + х ³ является функцией общего вида, так как f(–x) = (–x) ² + (–x) ³ = x ² – x ³ и f(–x) ¹ f(x) и f(–x) ¹ –f(x).

График четной функции симметричен относительно оси ординат (например, график функции у = х ²), а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

2. Монотонность. Функция у = f(x) называется возрастающей (убывающей) на промежутке Х, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции.

Пусть х ₁, х ₂ Î Х и x ₂ > x ₁. Тогда функция возрастает на промежутке Х, если f (x ₂)> f (x ₁) и убывает, если f (x ₂) < f (x ₁) (см. рис. 3.1).

у y

y =f(x) y =f(x)

f(x ₁ ) f(x ₂ ) f(x ₁ ) f(x ₂ )

О a x ₁ x ₂ b х О a x ₁ x ₂ b х

	Рис. 3.1.

Функции возрастающие и убывающие называются монотонными функциями.

Так, например, функция у = х ² при х Î (– ¥; 0] убывает и при х Î [0; ¥) возрастает.

3. Ограниченность. Функция f(x) называется ограниченной на промежутке Х, если существует такое положительное число М > 0, что ê f(x) ç £ М для любого х Î Х.

Например, функция y = sin x ограничена на всей числовой оси, ибо êsin x ê£ 1 для любого х Î R.

4. Периодичность. Функция y = f(x) называется периодической с периодом Т ¹ 0, если для любых х из области определения функции f(x +T) = f(x).

Например, функция y = sin x имеет период Т = 2 p, так как для любых x, sin (x + 2 p) = sin x.

Под термином «период» подразумевается наименьший положительный период функции, равный 2p; любой период функции y = sin x, как известно, равен 2p n, где n Î Z.

Функции двух переменных.

Основные определения, относящиеся к функциям нескольких переменных, являются обобщением соответствующих определений для функции одной переменной.

Остановимся на функции двух переменных. Если каждой паре значений x, y из множества D ставится в соответствие одно определенное значение z из множества Е, то z называется функцией двух независимых друг от друга переменных x и y и обозначается z = f(x, y).

Множество D называется областью определения функции z, а множество Е – множеством ее значений. Переменные x и y по отношению к функции z называются ее аргументами.

В общем случае область определения функции двух переменных геометрически может быть представлена некоторым множеством точек (x; y) плоскости x O y.

Подобно тому, как функция y = f (x) геометрически изображается графиком, можно геометрически истолковать и уравнение z = f (x; y). Ставя в соответствие каждой точке (x; y)ÎD аппликату z = f (x; y) мы получим некоторое множество точек (x; y; z) трехмерного пространства – чаще всего некоторую поверхность. Поэтому уравнение z = f (x; y) называют уравнением поверхности.

Дата добавления: 2015-07-07