Интегрирующее звено.

Звено, выходная величина которого пропорциональна или равна интегралу по времени от входной величины, называется интегрирующим и описывается уравнением вида или , где .

Изображение выходного сигнала имеет вид: .

Передаточная функция звена .

Примеры интегрирующих звеньев приведены на рис. 6.

Рис.6. Примеры интегрирующих звеньев:
а — электродвигатель постоянного тока; б — резервуар с входным трубопроводом

ИПФ: ПХ:

Графики приведены на рис. 7 и 8.

Рис.7. ИПФ интегрирующего звенаРис. 8. ПХ интегрирующего звена

Построим частотные характеристики.

,

где .

Рис.9. АФЧХ интегрирующего звена

При изменении частоты от 0 до конец вектора движется по отрицательной части мнимой оси от до 0.

Интегрирующее звено создает отставание выходного гармонического сигнала на 90° на всех частотах; амплитуда выходного сигнала уменьшается с возрастанием частоты рис. 10.

АЧХ: ; .

ФЧХ: .

Рис. 10. АЧХ и ФЧХ интегрирующего звена.

Логарифмическая частотная характеристика имеет вид: .

Зависимость — прямая линия с наклоном -20 дб/дек (Рис.11).

Пусть , К=100, тогда .

Пусть , тогда .

Пусть , тогда .

Рис. 11. ЛАЧХ и ЛФЧХ интегрирующего звена

Из рисунка видно, что при изменении частоты на одну декаду значение ЛАЧХ изменится на –20 дб, cледовательно, она имеет вид прямой.

Дифференцирующее звено.

Звено, выходная величина которого пропорциональна или равна производной по времени от входной величины, называется идеальным дифференцирующим и описывается уравнением вида , где .

Передаточная функция имеет вид .

Импульсная переходная функция и переходная характеристика определяются зависимостями .

Частотные характеристики выражаются формулами:

АЧХ и ФЧХ изображены на рис. 12.

Рис. 12. Частотные характеристики дифференцирующего звена

Пусть , К=10, тогда .

Пусть , тогда .

ЛАЧХ дифференцирующего звена прямая, проходящая через точку с координатами и имеющая наклон . увеличивается на 20 дб при увеличении частоты на одну декаду (рис.13).

Рис. 13. Логарифмические характеристики дифференцирующего звена

Звенья первого порядка

Апериодическое (инерционное) звено 1 порядка.

Дифференциальное уравнение имеет вид: .

Получим передаточную функцию: .

.

Примеры апериодических звеньев представлены на рис. 14.

Рис. 14. Примеры апериодических звеньев:
а — электрический RC -фильтр; б — резервуар со сжатым газом;

в — процесс закалки детали в жидкости.

Величины и называются коэффициентом усиления и постоянной времени апериодического звена соответственно.

Коэффициент характеризует уровень изменения выходного сигнала, постоянная времени характеризует инерционные свойства системы, т.е. как быстро система отрабатывает поступившее воздействие.

По известным формулам или таблице оригиналов ми изображений получим зависимости, определяющие импульсную переходную функцию и переходную характеристику: (рис.15).

(рис.16).

.

Рис.15 ИПФ Рис. 16. Переходная характеристика

апериодического звена апериодического звена

Преобразование Лапласа при ненулевых начальных условиях имеет вид: ; .

.

Найдем частотные характеристики:

(рис.17).

В теории управления часто используется метод качественного построения частотных характеристик по контрольным точкам.

Вычислим контрольные точки для ДЧХ и МЧХ

;

.

По полученным контрольным точкам функций и легко построить годограф функции или амплитудно-фазочастотную характеристику (рис.17в).

Рис.17а Действительная частотная характеристика апериодического звена

Рис.17б Мнимая частотная характеристика апериодического звена

Рис. 17в. АФЧХ апериодического звена

, тогда

.

ФЧХ определяется формулой .

.

Графики и изображены на рис.18.

Рис. 18. АЧХ и ФЧХ апериодического звена

ЛАЧХ определятся формулой: .

Рассмотрим две области построения:

1. , тогда .

На частотах в выражении пренебрегают слагаемым и характеристика в этой области представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс.

2. , тогда .

На частотах в выражении пренебрегают единицей и характеристика в этой области представляет собой прямую с наклоном -20 дб/дек.

Асимптотическая ЛАЧХ апериодического звена представлена (рис.19).

Рис. 19. Приближенная (асимптотическая) ЛАЧХ апериодического звена

Частоты, на которой асимптотические ЛАЧХ претерпевает излом, называют сопрягающими частотами. Определим значение функции на этой частоте.

, где .

Это говорит о том, что на частоте сопряжения точная ЛАЧХ будет меньше на три дб, относительно асимптотической.

Рис. 20. ЛАЧХ и ЛФЧХ апериодического звена

Дифференцирующее звено первого порядка (форсирующее).

Дифференциальное уравнение имеет вид: .

Получим передаточную функцию: .

.

Величины и соответственно называются коэффициентом усиления и постоянной времени форсирующего звена.

;

Частотные характеристики:

.

Построение асимптотической ЛАЧХ форсирующего звена аналогичен построению ЛАЧХ интегрирующего звена.

Рис.21 ЛАЧХ и ЛФЧХ дифференцирующего звена

Звенья второго порядка

Колебательное звено. Имеем уравнение .

Примеры звеньев приведены на рис. 22.

Рис. 22. Примеры колебательных звеньев:
а - RLC -колебательный контур; б - механическая система ( - масса, - коэффициент упругости пружины, - коэффициент демпфирования)

Найдем ПФ. Имеем

Тогда

где или (при ).

Параметры и называются коэффициентом усиления, постоянной времени и коэффициентом демпфирования (колебательности) колебательного звена соответственно.

При различных значениях имеют место следующие звенья:

· —консервативное или вырожденное колебательное (корни чисто мнимые);

· — апериодическое 2-го порядка (корни вещественные);

· — колебательное корни комплексно-сопряжённые).

Рассмотрим колебательное звено.

Найдём корни характеристического уравнения .

, где

- частота собственных колебаний звена,

- сопрягающая частота системы.

Вещественная часть корня представляет собой коэффициент затухания переходного процесса; мнимая часть корня – частоту колебаний переходного процесса.

Запишем выражение для ИПФ колебательного звена (рис. 23).

.

Перед построением ИПФ определим начальные и конечные значения:

Рис. 23. ИПФ колебательного звена ()

Частота называется частотой собственных колебаний звена.

Определим переходную функцию колебательного звена (рис. 24).

Перед построением переходной функции определим начальные и конечные значения:

Рис. 24. Переходная характеристика колебательного звена

при различных значениях

Перейдем к рассмотрению частотных характеристик.

Определим значения функции в контрольных точках и построим график.

, .

Рис.25а Действительная частотная характеристика колебательного звена

Определим значения функции в контрольных точках и построим график.

, .

Рис.25б Мнимая частотная характеристика колебательного звена

АФЧХ колебательного звена представлена на рис. 25.

Рис. 25.АФЧХ колебательного звена.

Определим значение АЧХ в контрольных точках:

Амплитудная характеристика плавно уменьшается, если . Если , то на амплитудной характеристике появляется резонансный «горб».

Частота, при которой амплитудная характеристика достигает максимального значения, называется резонансной и определяется формулой

.

Частота как в случае апериодического звена, так и в случае колебательного звена называется сопрягающей частотой.

ФЧХ имеет вид

Определим значение ФЧХ в контрольных точках:

Графики и изображены на рис. 26.

Рис. 26. АЧХ и ФЧХ колебательного звена при различных значениях .

Построим асимптотическую ЛАЧХ:

1. Пусть , тогда в выражении пренебрегают вторым слагаемым и и характеристика в этой области представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс.

2. Если , то в выражении во втором слагаемом оставляют только наибольшее слагаемое , тогда .

Характеристика в этой области представляет собой прямую с наклоном -40 дб/дек.

Определим значение функции на частоте сопряжения

Рис. 27. ЛАЧХ колебательного звена при различных значениях

Рис. 28. ЛФЧХ колебательного звена при различных значениях

Рассматривая колебательное звено в общем виде, получаем в качестве частных случаев ещё 2 типовых звена: консервативное и апериодическое второго порядка.

.

Есть звенья, которые традиционно относятся к типовым и указываются в таблицах, но при этом они не являются простейшими. К ним относятся:

-интегрирующеес замедлением или инерционное интегрирующее;

-дифференцирующее с замедлением (инерционное дифференцирующее);

-интегро- дифференцирующее, если , то звено ближе к интегрирующему; если , то звено ближе к дифференцирующему.

Неминимально – фазовые звенья.

Важным общим показателем типовых звеньев является принадлежность нулей передаточной функции к левой полуплоскости комплексного переменного.

Пусть имеем: , где

- полюса знаменателя; -нули числителя. Рассмотрим один из сомножителей знаменателя . Звенья, нули и полюса которых лежат в левой полуплоскости, называют минимально-фазовыми. Звенья, передаточные функции которых имеют нули и полюса, лежащие в правой полуплоскости, называются неминимально-фазовыми.

---

Дата добавления: 2015-07-08