Методические указания к выполнению задания.

Расчетно-графическое задание выполняется в последовательности, указанной в задании.

Эквивалентная передаточная функция разомкнутой системы при последовательном соединении элементов находится по формуле

,

где - передаточная функция i-го элемента системы;

k – количество элементов в системе.

Передаточная функция замкнутой системы находится по формуле

,

где - передаточная функция разомкнутой системы.

Для построения частотных характеристик (АФЧХ, АЧХ и ФЧХ) системы в выражении передаточной функции разомкнутой системы производит замену оператора на значение , что дает аналитическую форму АФЧХ разомкнутой системы - , то есть

W_pc(p)| _p=jw=Ф_рс(jw)

Затем путем алгебраических преобразований выделяют действительную и мнимую части амплитудно-фазочастотной функции:

.

Задаваясь от 0 до , находят значение действительной и мнимой частей при конкретных частотах. Последним расчетным значением можно считать то значение частоты, после которого и действительная и мнимая части становятся равными менее 0,01 своего максимального значения при этом следует учитывать, что для построения АФЧХ достаточно взять 15-20 точек.

По полученным данным строят АФЧХ в виде кривой по комплексной плоскости.

Для построения АЧХ необходимо воспользоваться формулой

для построения ФЧХ – формулой

ЛАЧХ разомкнутой системы строится асимптотически. Для ее построения передаточную функцию необходимо представить в виде

где - передаточный коэффициент разомкнутой системы;

- постоянного времени -го инерционного звена;

- порядок системы.

Низкочастотный участок ЛАЧХ будет представлять прямую, параллельную оси частот с ординатой

При достижении ЛАЧХ частот сопряжения наклон характеристики будет изменяться на – 20 дБ/дек.

Например, ЛАЧХ системы с передаточной функцией

выглядит так:

Для построения ЛФЧХ можно воспользоваться данными из ФЧХ, только масштаб по оси частот должен быть логарифмическим.

При построении логарифмических характеристик необходимо помнить, что ось абсцисс градуируется в частоте, но частоты по оси откладываются в логарифмическом масштабе. Это значит, что по оси частот равномерно распределяются логарифмы частот.

Рассмотрим это на примере. Допустим, нам необходимо отложить частоты 0,5 и 6. Десятичные логарифмы этих частот соответственно равны –0,3 и 0,77. Тогда участок оси с указанными частотами будет выглядеть так:

Примечание. Выше оси указаны десятичные логарифмы соответствующих частот.

Проверка устойчивости системы

Для проверки устойчивости системы по алгебраическому критерию Гурвица необходимо воспользоваться характеристическим уравнением системы.

Характеристическое уравнение системы имеет вид:

Условия устойчивости сводятся к тому, чтобы все коэффициенты и определители, составленные по схеме, приводимой ниже, были положительными.

Определители образуются из следующей таблицы коэффициентов характеристического уравнения системы:

аn-1	an-3	an-5	.	.	.	.	.	.
an	an-2	an-4	.	.	.	.	.	.
	an-1	an-3	.	.	.	.	.	.
	an	an-2	.	.	.	.	.	.
		an-1	.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.	.	.	a1
		.	.	.	.	.	.	а2	а0

Из этой таблицы для определителя 1,2,…., n-го порядка берутся 1,2,……., n столбцов и строк.

Сама таблица составляется следующим образом. По главной диагонали вписывают последовательно коэффициенты характеристического уравнения, начиная с а_n-1. Столбцы таблиц, начиная с главной диагонали, заполняют вверх по убывающим индексам, вниз – по возрастающим. Все коэффициенты с индексами ниже нуля и выше степени уравнения заменяют нулями.

Например, для системы с характеристическим уравнением

10P⁴ + 3P³ + 5P² + 4P + 1 = 0

таблица коэффициентов будет иметь вид:

Определитель первого порядка

Δ₁ = 3,

определитель второго порядка

Δ2 =

определитель третьего порядка

Δ3 =

определитель четвертого порядка

Δ4 =

Одним из наглядных критериев устойчивости является критерий Михайлова.

Для рассмотрения системы по данному критерию необходимо воспользоваться характеристическим уравнением системы

Заменяя в уравнении на , получим:

Выделяя в уравнении вещественную часть (сумма слагаемых, содержащих в четных степенях), получим четную функцию , равную

Выделяя мнимую часть уравнения (сумма слагаемых, содержащая в нечетных степенях), получим нечетную функцию , равную

Выражение

есть аналитическое представление вектора Михайлова.

Вычисляя значение при изменении частоты от 0 до +¥ и отмечая изменение положения конца вектора на комплексной плоскости, можно судить об устойчивости рассматриваемой системы.

Если кривая, описывающая изменение положения этого вектора (годограф Михайлова), при изменении частоты от 0 до +¥ описывает в положительном направлении (против часовой стрелки) n квадрантов (n - порядок характеристического управления), то система устойчива.

При вращении вектора и при изменении частоты от 0 до +¥ вещественная и мнимая оси будут в устойчивой системе поочередно пересекаться годографом. Каждому пересечению вещественной оси будет соответствовать корень полинома , а каждому пересечению мнимой оси – корень полинома . Таким образом, для оценки устойчивости системы можно воспользоваться нахождением корней полиномов и . Чтобы система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы корни уравнений и при изменении частоты от 0 до +¥ чередовались и были вещественными.

Пример. Пусть имеется характеристическое уравнение системы

P⁵ + P⁴ + 7P³ + 4P² + 10P + 3 = 0

Подставляя в это уравнение вместо значение , выделим четную функцию частоты и нечетную функцию частоты :

Годограф Михайлова при изменении частоты 0 до +¥ будет иметь вид:

Из рисунка видно, что годограф Михайлова описывает в положительном направлении пять квадрантов, значит, система устойчива.

Для оценки устойчивости можно воспользоваться и методом чередования корней. Выделим уравнения четной функции частоты и нечетной функции частоты в следующем виде:

,

.

Определим корни уравнения

,

тогда

,

; .

Определим корни уравнения

Расположим корни и в таблице

Корни			1,41		2,236
Корни				1,73

Корни чередуются, следовательно, система устойчива.

Для проверки устойчивости системы по критерию Найквиста можно воспользоваться уже построенной АФЧХ разомкнутой системы. Как известно, оценка устойчивости производится по относительному положению АФЧХ и точки с координатами (-1; 0). Дополнительных вычислений не требуется.

Дата добавления: 2015-07-08