Тема 6. Движение твердого тела вокруг неподвижной точки.

Пример 23. Конус с углом при вершине и радиусом основания катится без проскальзывания по неподвижной горизонтальной поверхности. Определить скорость точки , если скорость центра основания постоянна и равна .

Решение. Движение конуса является сферическим. Мгновенная ось вращения конуса совпадает с образующей , так как скорости точек образующей равны нулю (рис. 20).

Используя формулу (5), находим угловую скорость вращения конуса вокруг мгновенной оси вращения: , где . Тогда .

Вектор угловой скорости направлен по мгновенной оси вращения от точки к точке . Скорость точки определим как вращательную скорость вокруг мгновенной оси вращения: , где ; .

Вектор скорости точки направлен аналогично вектору скорости точки , т е. перпендикулярно плоскости в соответствии с направлением угловой скорости вращения.

Ответ. .

Пример 24. Используя условие примера 23, найти ускорение точки А.

Решение. Определим угловое ускорение конуса. При качении конуса по горизонтальной поверхности вектор угловой скорости будет вращаться вокруг вертикальной оси .Так как модуль вектора угловой скорости постоянен, то конец вектора описывает окружность постоянного радиуса, равного модулю вектора угловой скорости в горизонтальной плоскости. Угловую скорость вращения вектора вокруг оси определяем, как угловую скорость вращения оси конуса вокруг оси : , где , . Вектор будет направлен противоположно положительному направлению оси . Вектор углового ускорения геометрически равен скорости конца вектора угловой скорости . Ее можно определить, как вращательную скорость точки, радиус вращения которой равен модулю угловой скорости : . Вектор углового ускорения будет находиться в плоскости , приложен в неподвижной точке и направлен в сторону положительного направления оси .

Ускорение точки в сферическом движении равно: . По формулам (7), (8) находим и : , где — отрезок перпендикуляра, опущенного из точки на вектор углового ускорения; . Вектор , перпендикулярный отрезку , находится в плоскости и направлен в соответствии с угловым ускорением, т. е. если смотреть с конца вектора , то вектор должен вращаться против хода часовой стрелки.

Вектор осестремительного ускорения равен , где . . Вектор направлен по к мгновенной оси вращения:

, , .

Ответ. .

Дата добавления: 2015-07-08