Читайте также:
|
Функция z = f (x1; x2; …; xn) не прерывна на ограниченном и замкнутом множестве D ≤ Rn достигает в некоторых точках этого множества свои наибольшие Zmax и наименьшее Zmin значения на этом множестве.
Замечение: Точки, в которых достигаются Zmin и Zmax могут быть только точками локального экстремума и точками границы множества D.
Задание: Найти Zmin и Zmax функции z = (x – 1 
+ (y – 2 на множестве
D = {(x; y) 
R2 | 
}
ρ = 
– для всех точек круга.
Множество D – Это круг. С границей оно ограничено и замкнуто.
– определение непрерывности.
Покажем, что функция z непрерывна.
z (x0; y0) = (x0 – 1)2 + (y0 - 2)2
z (x0 + Δx; y0 + Δy) = (x0 + Δx – 1)2 + (y0 + Δy - 2)2.
Ясно: что Δx≈0 и Δy≈0, то и z(x0; y0)≈z(x0 + Δx; y0 + Δy), то есть в точках плоскостях достаточно близких к т.(x0; y0) значения функции z сколь угодно близка к z (x0; y0). И это верно для любой точки (x0; y0).
Мы показали, что функция z непрерывна в любой точки плоскости. Следовательно, наша функция z достигает на множестве D Zmin и Zmax (по теории Вейерштрасса).
Найдём точки, подозрительные на locextr z = (x – 1)2 + (y – 2)2
= 2(x – 1) = 0, x = 1
= 2(y – 2) = 0, x = 2
- 
т.(1; 2) – подозрительно на locextr
z (1; 2) = 0
На границе круга значение функции z равны 1
= 1
z = 1 => Zmin = 0; Zmax = 1
Пример: z = (x – 1)2 + (y – 2)2
Шаг 1.: По теореме Вейерштрасса находим точки подозрительные на locextr.
= 2(x – 1) = 0
= 2(y – 2) = 0
т.(1; 2) – критическая (стационарная точка)
Шаг 2.: Пользуемся теорией о достаточных условиях в т.(1; 2) условие A теоремы выполнено.
= 2(x – 1)
= 2(y – 2)
= 2 
= 
= 0 
= 2
Условие B теоремы так же выполнено.
A = 2
B = 0
C = 2
Δ = A × C – B2 = 2 ×2 – 0 = 4 > 0
Ответ: т.(1; 2) – это точка locmin функции z.
g (x0; y0) = C
Опр.: точка (x0; y0) называется точкой условного экстремума функции z = f(x; y), если для всех точек (x; y) некоторой её окрестности, отвечающих условию g(x; y) = C, выполнено:
f(x0; y0) ≤ f(x; y) – точка условного минимума.
f(x0; y0) ≥ f(x; y) – точка условного максимума.
Задача на условный экстремум функции 2х переменных, с одним ограничением типа равенства.
z=f(x, y) → extr
g(x, y) = C
L = f(x, y) + λ(g(x; y) – C)
λ – множитель Лагранжа.
Теорема Лагранжа.
Если т.(x0; y0) это точка условного extr функции z=f(x, y), то существует число λ0, такое что т.(x0; y0; λ0) будет точкой locextr функции L(x; y; λ).
Замечания: Из теоремы Лагранжа следует, что точку условного extr x0, y0 ищут как решение системы уравнений.
= 0
= 0
= 0
Элементы исследования функции нескольких переменных в общей постановке.
A = 
h = 
Rn
ΔA1 = a11
ΔA2 = 
ΔA3 = 
главные диагонали миноры.
ΔAn = ΔA
Матрица A (n×n) называется положительно (отрицательно) определённой, если:
h = 0
ht × A×h > 0 (< 0) или что тоже самое для любого h≠0
× hi × hj > 0 (<0)
A = 
h = 
ht × A×h = 
× = 
× = 
× 
+ 
× 
= 
+ 
+ 
+ 
Критерий Сильвестра:
1) Матрица A является положительно определённой, если все её главные диагональные миноры > 0
ΔA1>0; ΔA2>0, и т.д.
2) Матрица A является отрицательно определённой, если ΔA1<0; ΔA2>0; ΔA3<0, и т.д., если знаки главной диагонали минора чередуются, начиная с отрицательного.
Теорема о необходимых условиях 2го порядка и достаточных условиях locextr функции нескольких переменных.
Пусть функция J = J(x1; x2; …; xn) дважды дифференцируема в точке 
Rn.
Тогда:
1) Если locmin (max) J =>
a. 
= 
= … = 
= 0
= 
b. h≠0, 
≥0 (≤0)
(
= 
= 
2) Если 
= 
= 0, и h 
≥0 (≤0), т. locmax(min) J.
Замечание к теореме:
Обычно в задаче практике бывают полезные только вторая часть этой теоремы. Проверку выполнения условий 2ой части удобно проводить с помощью критерия Сильвестра, применительно к матрице 
.
Матрица Гесса: 
.
Пример: J = 
+ 
– (x1 + x2)2 → extr
Используем часть 2 нашей теоремы:
= < 0
4 
– 2(x1 + x2) = 0; 4 
– 2(x1 + x2) = 0
4 – 4 = 0
=
4 – 4 
= 0
= 0
x1(x1 – 1)(x1 + 1) = 0
x1 = 0; x1 = 1; x1 = -1
1) (0; 0)
2) (1; 1)
3) (-1; -1)
Составим матрицу Гесса
4 – 2(x1 + x2) =
4 – 2(x1 + x2) =
= 12 × 
– 2
= -2 = 
= 12 
– 2
H = 
H(0; 0) = 
ΔA1 < 0; ΔA2 = 0
ΔA1 = -2 < 0
ΔA2 = 0
Нету ни положительной, ни отрицательной определённости, т.е. т.(0; 0) – это особый случай, и мы его обследуем отдельно.
H (1; 1) = 
ΔA1 = 10 > 0
ΔA2 = 96 > 0
Матрица положительно определённая.
По второй части теоремы делаем вывод: т. (1; 1) locmin J. Тоже самое в точке (-1; -1).
H (-1;-1) = – положительно определённая. т. (-1; -1) locmin J.
Дата добавления: 2015-07-10; просмотров: 497 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| Діагностику реклами і напрямів стимулювання збуту | | | Тьерс Джафримель |