Решение. Обоснование: рассмотрим функцию ; непрерывна на R как рациональная; следовательно

1) а) .

Обоснование: рассмотрим функцию ; непрерывна на R как рациональная; следовательно, .

б) Прежде, чем приступать к преобразованиям, проверьте, присутствует ли в данном примере неопределенность: ведь если при подстановке предельной точки получается, например, отношение конечных чисел (знаменатель отличен от нуля), то можно сразу воспользоваться теоремой о пределе частного!

В данном примере при подстановке числа -1 получаем неопределенность типа , так что придется приступать к преобразованиям. (Еще встречаются, например, неопределенности типа .)

.

Обоснование: при функция совпадает с функцией , а т.к. понятие предела не включает рассмотрение значения функции в предельной точке, то и пределы и в точке совпадают, а функция определена в точке -1 и непрерывна как рациональная, и, следовательно, вместо предела можно считать значение .

в) . Предложим два стандартных способа решения задачи.

I. Используем прием домножения (и деления) на сопряженное с целью избавления от иррациональности, несущей неопределенность.

II. Сделаем замену переменной и перейдем к вычислению предела рациональной функции:

.

г) .

Обоснование: теорема о пределе частного (или теорема о непрерывности отношения непрерывных функций).

2) а) .

непрерывна как рациональная на своей области определения.

Ответ: непрерывна на .

б) .

- разность двух функций: рациональной функции с областью определения и функции - отношения непрерывных на функций. .

Ответ: непрерывна на .

в) .

- отношение непрерывных функций при , т.е. при . .

Ответ: непрерывна на .

г) .

- непрерывная функция на R. - композиция функций и , причем непрерывна на , а в точке непрерывна справа. Тогда по теореме о непрерывности композиции функций непрерывна на множестве и односторонне непрерывна при .

Ответ: непрерывна на ; в точке -8 функция непрерывна слева, в точке 4 – справа.

д)

непрерывна на своей области определения. Ответ: непрерывна на .

е) .

На основании теорем о непрерывности частного непрерывных функций непрерывна на .

Ответ: непрерывна на .

ж) .

По теореме о непрерывности композиции непрерывных функций непрерывна на

Ответ: непрерывна на .

Дата добавления: 2015-07-10