Непрерывность.

Задание.

1) Пусть функция имеет (конечный) предел в точке , не имеет предела в точке . Докажите, что функции не имеют предела в точке .

2) Пусть и не имеют предела в точке . Докажите, что функции могут иметь предел в точке , а могут и не иметь.

3) Докажите, что функция не имеет предела в точке 0.

Непрерывность.

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если выполнены следующие

три условия: а)

б) (предел функции в точке существует и конечен);

в) .

Переформулировка в терминах : .

(Сравните с определением предела функции в точке!)

Замечание. Аналогично понятиям односторонних пределов можно определить

понятие односторонней непрерывности:

Функция называется непрерывной в точке слева (справа), если

выполнены следующие три условия: а)

б) (предел функции в точке существует и конечен);

в) .

().

Определение. Функция называется непрерывной на промежутке, если она непрерывна

в каждой точке этого промежутка.

Примеры. 1) - непрерывна в любой точке .

2) - непрерывна в любой точке .

3) - непрерывна в любой точке , в точке 0 непрерывна справа.

Свойства. (следуют из свойств предела функции в точке).

· Теорема о сумме, произведении и частном непрерывных функций.

Если функции и непрерывны в точке , то и функции непрерывны в этой

точке. Если, кроме того, , то функция также непрерывна в точке .

· Теорема о непрерывности рациональной функции.

Рациональная функция (, где - многочлены) непрерывна

на своей области определения.

(Если непрерывна, то и непрерывна, и

непрерывна, и непрерывна.)

· Если и непрерывна в точке , то в некоторой окрестности точки

знак функции совпадает со знаком .

· Пусть , непрерывна в точке . Тогда .

· Пусть функция непрерывна в точке , функция непрерывна в точке . Тогда композиция (т.е. ) непрерывна в точке .

Задание. 1) Вычислить пределы: а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

2) Найти промежутки непрерывности функции: а) ;

б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) .

Дата добавления: 2015-07-10