Доказательство. Вспомним определение предела функции в точке и по заданному (в общем виде) попробуем

а) .

Вспомним определение предела функции в точке и по заданному (в общем виде) попробуем подобрать так, чтобы при выполнялось условие ( - предполагаемый предел).

Итак, пусть задано .

, так что можно брать любым (положительным).

б) .

Пусть задано .

при , при .

Положим при , и при .

в) .

Пусть задано .

.

Напомним две простые идеи: 1) если числитель и знаменатель дроби положительны, то чем больше числитель и чем меньше знаменатель, тем больше дробь; 2) если , то (свойство транзитивности неравенства).

Далее: заметим, что если «разрешить» неограниченно приближаться к числу –1, то знаменатель дроби будет неограниченно уменьшаться по модулю, и дробь нельзя будет сделать меньше . Поэтому необходимо отделить от -1. Попробуем заранее ограничить «зону поиска » так, чтобы оценить дробь сверху, заменив знаменатель на некоторое число, а затем уже увеличенную дробь будем делать меньше . Тогда и исходная дробь станет меньше .

Если, например, сразу ограничить (вместо можно взять любое число между 0 и 1), то , тогда . . На есть два условия: .

Положим .

г) .

Пусть задано .

.

		-3
		-2

( разложили на множители, «угадав» корень и разделив многочлен на двучлен

по схеме Горнера.)

Далее используем тот же прием, что и в предыдущем примере (оценку сверху), т.е. увеличиваем дробь, и уже увеличенную величину делаем меньше заданного . Нужно подобрать такие числа, на которые можно заменить все множители с переменной, кроме , чтобы дробь увеличилась, т.е. числитель увеличился, а знаменатель уменьшился. «Инструмент» - ограничение на . Образно – укорачиваем поводок, на котором привязан около предельной точки – числа 1.

Положим сразу .

Тогда .

Положим .

Определение. Число называется пределом функции в точке слева, если

.

Число называется пределом функции в точке справа, если

.

Для любой окрестности числа найдется такая проколотая (без самой

точки !) левая или правая полуокрестность точки , что для любого из

этой полуокрестности значение функции принадлежит . Как видим,

определение почти полностью повторяет определение предела функции в точке с той

лишь разницей, что «бежит» к слева или справа.

Обозначение: . (предел функции в точке слева,

справа равен ).

Критерий существования предела функции в точке.

Предел функции в точке существует тогда и только тогда, когда существуют оба односторонних предела, и они равны. Тогда предел функции в этой точке равен односторонним пределам.

1) Имеет ли предел в точке функция А функция

2) Определите по графикам, имеет ли функция в точке : (конечный) предел слева; (конечный) предел справа; (конечный) предел.

3) Имеет ли предел функция Дирихле ()

а) в точке1; б) в точке ?

Дата добавления: 2015-07-10