П.5. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.

Определение. Последовательность (), где n Î N, называется бесконечно

малой, если .

Используя определение предела последовательности, это определение можно записать в эквивалентном виде.

Последовательность (), где n Î N, называется бесконечно

малой, если для любого сколь угодно малого найдётся такой номер , что для всякого номера выполняется неравенство: .

Теорема 1. Справедливы утверждения.

1) Сумма (разность) двух бесконечно малых последовательностей также является бесконечно малой последовательностью.

2)Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность есть бесконечно малая последовательность.

3) Произведение двух бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

4) Произведение бесконечно малой последовательности на постоянное число является бесконечно малой последовательностью.

Доказательство самостоятельно.

Определение. Последовательность (), где n Î N, называется бесконечно большой, если .

Используя определение предела последовательности, это определение бесконечно большой последовательности можно записать в эквивалентном виде.

Последовательность (), где n Î N, называется бесконечно

большой, если для любого сколь угодно большого найдётся такой номер , что для всякого номера выполняется неравенство:

.

Теорема 2. Если () – бесконечно малая последовательность, то

- бесконечно большая последовательность при условии что все

.. Если () – бесконечно большая последовательность, то

- бесконечно малая последовательность.

Пример. Доказать, что последовательность - бесконечно малая.

Решение. 1способ – по теореме 2: . Значит последовательность - бесконечно малая.

2способ – по определению. См. стр.15, сборник задач по курсу «Математика в экономике» ч.2. Под редакцией В.А. Бабайцева и В.Б. Гисина.

Лемма о вложенных промежутках ( теорема Кантора о вложенных промежутках).

Для всякой системы вложенных отрезков:

Существует хотя бы одна точка , принадлежащая всем отрезкам данной системы. Если, кроме того, длина отрезков системы стремится к нулю:

то - единственная общая точка всех отрезков данной системы.

Дата добавления: 2015-07-10