ТЕРМИНЫИПОНЯТИЯ 3 страница

В то же время в состав этого класса методов входит относи­тельно новое направление математики - математическое програм­мирование, которое содержит средства постановки задачи и рас­ширяет возможности доказательства адекватности моделей.

Аналитические методы применяются в тех случаях, когда свой­ства системы можно отобразить с помощью детерминированных величин или зависимостей, т. е. когда знания о процессах и собы­тиях в некотором интервале времени позволяют полностью опре­делить поведение их вне этого интервала. Эти методы использу­ются при решении задач движения и устойчивости, оптимального размещения, распределения работ и ресурсов, выбора наилучше­го пути, оптимальной стратегии поведения, в том числе в конф­ликтных ситуациях, и т. п.

В то же время при практическом применении аналитических представлений для отображения сложных систем следует иметь в виду, что они требуют установления всех детерминированных

связей между учитываемыми компонентами и целями системы в виде аналитических зависимостей. Для сложных многокомпо­нентных, многокритериальных систем получить требуемые ана­литические зависимости крайне трудно. Более того, даже если это и удается, то практически невозможно доказать правомерность применения таких выражений, т.е. адекватность модели рассмат­риваемой задаче. В таких ситуациях следует обратиться к дру­гим методам моделирования.

• 1. Вол ко в а В.Н. Методы формализованного представления (отобра­
жения) систем: текст лекций / В.Н. Волкова. Ф.Е. Темников. - М.: ИПКИР.
1974. 2. Волкова В.Н. Методы формализованного представления систем:
учеб. пос. / В.Н. Волкова. А.А. Денисов, Ф.Е. Темников. - СПб.: Изд-во
СПбГТУ, 1993. 3. Денисов А.А. Теория больших систем управления: учеб.
пос. для вузов/А.А. Денисов, Д.Н. Колесников. -Л.: Эиергоиздат, 1982.4. В о л -
ков а В.Н. Основы теории систем и системного анализа / В.Н. Волкова.
А.А. Денисов. - СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1997. - С. 92-96. В.Н. Волкова

о —----------------

БАЛАНСОВЫЕ МОДЕЛИ - экономико-математические модели, построенные в виде системы уравнений, представляющих балан­совые соотношения произведенного и распределенного продукта. Статистические и динамические балансовые модели широко применяются при моделировании экономических систем и про­цессов. В основе создания таких моделей лежит балансовый метод, заключающийся во взаимном сопоставлении матери­альных, трудовых и финансовых ресурсов и потребностей в них. Под балансовой моделью экономической системы в целом пони­мается система уравнений, каждое из которых выражает требова­ние баланса между производимым отдельными экономическими объектами количеством продукции и совокупной потребностью в ней. Рассматриваемая система состоит из экономических объек­тов, каждый из которых выпускает некоторый продукт, одна часть которого потребляется другими объектами системы, а другая вы­водится за пределы системы в качестве конечного продукта. Кро­ме требования соответствия производства каждого продукта и потребности в нем существуют такие балансовые соотношения, как соответствие рабочей силы и количества рабочих мест, пла-

тежеспособного спроса населения и предложения товаров (услуг) и т.п. При этом соответствие понимается либо как равенство, либо (не жестко) как достаточность ресурсов для покрытия потребно­сти, т.е. наличие некоторого резерва.

Важнейшими видами балансовых моделей являются частные материальные, трудовые и финансовые балансы народного хо­зяйства и отдельных отраслей, межотраслевые балансы, а на уровне промышленных предприятий - матричные техпромфин-планы.

Идея балансовых моделей впервые была сформулирована в СССР, а первая таблица межотраслевого баланса опубликована ЦСУ в 1926 г. Однако развитая математическая модель межот­раслевого баланса, открывающая большие возможности для ана­лиза, предложена в 1936 г. в трудах американского экономиста русского происхождения В.В. Леонтьева.

Принципиальная схема межотраслевого баланса производ­ства и распределения общественного продукта в стоимостном выражении приведена в таблице. Народное хозяйство представ­лено в виде совокупности п отраслей, каждая из которых фигу­рирует и как производящая, и как потребляющая. Совокупный продукт разделен на две части: промежуточный и конечный про­дукт. Речь идет о некотором определенном промежутке времени (как правило, это плановый год).

В таблице приняты следующие обозначения: X. - общий объем продукции отрасли / за данный промежуток времени - так называ­емый валовой выпуск отрасли i; Х_г- объем продукции отрасли i,

расходуемый отраслью./ в процессе производства; У_г объем про­дукции отрасли I, предназначенный к потреблению в непроизвод­ственной сфере - объем конечного потребления.

Балансовый характер этой таблицы выражается в виде двух важнейших соотношений. Во-первых, итог материальных затрат любой потребляющей отрасли и ее условно-чистой продукции равен валовой продукции этой отрасли:

Xj = tXij+Zj\j = ~n. (1)

/=|

Величина условно-чистой продукции Zj равна сумме аморти­зации е., оплаты труда v^ и чистого дохода т. отрасли,/.

Во-вторых, валовая продукция любой отрасли равна сумме материальных затрат потребляющих ее продукцию отраслей и конечной продукции данной отрасли:

*, = L*,y + ^;' = U (₂)

7=1

Суммируя по всем отраслям уравнения (1) и (2), соответствен­но получим:

П п п п

j=\ j=U=\ j=l

N n n n

Отсюда следует, что должно выполняться соотношение

П п

7=1 /=1

В. Леонтьев, рассматривая развитие американской экономики,

^хо установил, что величины в/у = —— остаются постоянными в течение

Xj

ряда лет, будучи обусловлены примерным постоянством приме­няемой технологии. Таким образом, для выпуска любого объема Xj продукции отрасли у необходимо затратить продукции отрасли / в количестве а^Х., где а.. - постоянный коэффициент. Другими словами, материальные издержки пропорциональны объему про­изводимой продукции. Это допущение характеризует линейность существующей технологии. Согласно гипотезе линейности имеем:

X_u = a_iJX_J(iJ=l_l...₁n).

Коэффициенты д называют коэффициентами прямых затрат. Уравнения (2) в матричной записи принимают следующий вид:

Х = АХ+У, (3)

где А = (о„) - матрица коэффициентов прямых материальных затрат; X - вектор-столбец валовой продукции; Y - вектор-столбец конечной продукции.

Система уравнений (3) называется экономико-математичес­кой моделью межотраслевого баланса (моделью В. Леонтьева), или моделью «затраты - выпуск», с помощью которой можно выполнить следующие расчеты:

1) подставив в модель объемы Х₍ валовой продукции каждой от­
расли, можно определить объем У. конечной продукции отрасли:

У=(Е-А) X;

2) задав величины К. конечной продукции всех отраслей, мож­
но определить величины Х₍ валовой продукции каждой отрасли:

Х=(Е-А)~¹ Y;

3) установив для ряда отраслей величины валовой продукции,
а для всех остальных отраслей задав объемы конечной про­
дукции, можно найти объемы конечной продукции первых от­
раслей и объемы валовой продукции вторых.

Балансовые модели не содержат механизма сравнения отдель­ных вариантов экономических решений и не предусматривают

взаимозаменяемость ресурсов, что не позволяет осуществить вы­бор оптимального варианта развития экономической системы. Этим определяется ограниченность применения балансовых мо­делей.

• I. Математика и кибернетика в экономике: словарь-справочник.-
М.: Экономика, 1975.-С. 37-40.2. Новичков Б.Ф. Материальные балан-
сы/Б.Ф. Новичков. -М.: Экономика, 1972. 3. Леонт ьев В.В. Экономи­
ческие эссе/В.В. Леонтьев. -М.: Политиздат, 1990. 4. Данил и и В.И. Си­
стема матричных моделей технико-экономического управления на
предприятии / В.И. Данилин. - М.: Экономика, 1977. В.И. Юрьев

БЕСКОНЕЧНОМЕРНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ - раздел математического программирования, изучающий задачи оптими­зации в бесконечномерных пространствах.

Общая задача бесконечномерного программирования состо­ит в максимизации функционала fix), определенного на некото­ром множестве К топологического линейного пространства X при ограничениях F(x) < 0, Н(х) = 0. Здесь F: X-> V, U-.X^W- отображения (операторы); V, W - некоторые (в общем случае другие) топологические линейные пространства; в V задан вы­пуклый конус Ку, и неравенство v, <, v₂ в К означает по определе­нию, что v, - v₂ G Ку. Векторы х е К, удовлетворяющие ограни­чениям F(x) < 0, Н(х) = 0, называются допустимыми, а искомые векторы - оптимальными. Обычно предполагается, что К и К_у замкнутые множества, а /, F и Н непрерывны.

Задачи минимизации, а также задачи, в которых ограничение задается противоположным неравенством (т.е. «больше, равно»), укладываются в эту схему, так как умножением на (-1) функцио­нала или неравенства они сводятся к задаче максимизации с ог­раничением вида «меньше, равно».

Иногда рассматривают задачи с несколькими ограничения­ми типа неравенств и равенств:

F,(x) < 0,..., Fm,(x) < 0, Н,(х) = 0,..., Н/н₂(х) = 0,

где F_i:^-^K.(/,...,m₁);

H_k: X -* W_k (к ~ 1,..., т₂), и неравенства в V. определяются некото­рым выпуклым конусом К_§ с V..

Эта задача является частным случаем первоначальной и фор­мально сводится к ней, если положить V~ V_{ х... х Vm_v W=W_}x... х Wm_v K_v = K_{x... х К и рассмотреть отображения F(x) = (F,(x),..., Fm_t(x)), H(x) = (Н,(х),..., Hm₂(x)).

Класс задач бесконечномерного программирования с конеч­ным числом функциональных ограничений сводится к задачам конечномерного математического программирования.

Теоретически наиболее разработаны бесконечномерное выпук­лое программирование (1, 2, 4] и его часть - бесконечномерное ли­нейное программирование [1,3]. Отдельные результаты (например, обобщенная теорема двойственности) разработаны для общей задачи бесконечномерного программирования [2].

В теории бесконечномерного выпуклого программирования изучаются задачи, в которых отображение Н линейно, а множе­ство К, функционал / и отображение F выпуклы. Задачи, где К выпуклое множество, a/, F и Н линейны, относятся к бесконеч­номерному линейному программированию. Основным результа­том бесконечномерного выпуклого программирования является теорема о седловой точке, обобщающая теорему Куна-Таккера в конечномерном выпуклом программировании.

С теоремой о седловой точке и ее обобщениями тесно связа­на теория двойственности, которая изучает взаимозависимость пары задач бесконечномерного программирования - исходной задачи и некоторой другой, построенной специальным образом двойственной задачи (см.). Эта теория аналогична конечномер­ной теории двойственности в математическом программирова­нии (см.), но она обладает рядом специфических особенностей, обусловленных бесконечной размерностью.

Бесконечномерное программирование тесно связано с таки­ми математическими дисциплинами, как теория приближений, теория бесконечных игр, математическая теория оптимальных процессов и динамическое программирование (см.). Методы, исполь­зуемые в бесконечномерном программировании, - это методы функционального анализа, в первую очередь выпуклого анали­за, изучающего общие свойства выпуклых функций и множеств в линейных пространствах.

Из практических применений бесконечномерного програм­мирования наибольшее распространение при моделировании процессов в социально-экономических системах получили непре-

рывные транспортные задачи (в том числе классическая задача Монжа о перемещении масс, исследованная акад. Л.В. Канторо­вичем), динамические и стохастические модели экономики.

• 1. Э р р о у К.Дж. Исследования по линейному и нелинейному програм­
мированию: пер. с англ. / К.Дж. Эрроу, X. Гурвиц, X. Удзава. - М.: Иностр.
лит., 1962. 2. Гольштейн Е.Г. Теория двойственности в математическом
программировании и ее приложениях / Е.Г. Гольштейн. - М.: Наука, 1971.
3. Левин В.Л. Условия экстремума в бесконечномерных линейных зада­
чах с операторными ограничениями / В.Л. Левин // Исследования по мате­
матическому программированию: Сб.-М.: Наука, 1968. 4. Математика
и кибернетика в экономике: Словарь-справочник.-М.: Экономика, 1975.-
С. 40^2. Б.И. Кузин, В.Н. Юрьев

БЛОЧНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ - раздел математическо­го программирования (см.), изучающий свойства и методы реше­ния задач оптимизации, которые могут быть представлены как система двух или более взаимосвязанных подзадач-блоков.

В практике решения задач математического программирова­ния встречаются такие, системы ограничений которых включа­ют ограничения, содержащие все переменные (эти ограничения образуют блок-связку), и ограничения, содержащие некоторые части их (эти ограничения образуют блоки). Система ограниче­ний таких задач с двумя блоками изображена на рисунке. В об­щем случае число блоков может быть достаточно большим, а за­дачи, имеющие блочную структуру, могут быть задачами как линейного, так и нелинейного программирования.

Расчленение задачи проводится таким образом, чтобы выде­лить подзадачу, которая может быть решена посредством доста­точно эффективного алгоритма, применение которого для задачи

в целом нерационально. В блочном программировании допуска­ется применение как точных, так и приближенных методов реше­ния подзадач и предусматривается реализация последовательнос­ти итераций, при этом исследование на каждом последующем шаге осуществляется с учетом результатов предшествующих шагов, что помогает постепенно решить все выделяемые задачи. В этой связи указанные методы представляют интерес для систем с большой начальной неопределенностью.

Начиная с 80-х гг. XX в. данные методы использовались в эко­номико-математическом анализе как модели процессов планиро­вания и функционирования в экономических системах. В частно­сти, блочное программирование с успехом применяется в отраслевых задачах оптимизации, где естественна декомпозиция общей модели отрасли на блоки - модели предприятий либо на блоки, соответствующие последовательным стадиям переработки сырья.

Для решения задач с блочной структурой могут быть исполь­зованы:

1) метод разложениягДанцига-Вулфа (для задач линейного про­граммирования);

2) метод планирования на двух уровнях Корнаи-Липтака.

Оба метода представляют собой последовательные (итераци­онные) пересчеты, увязывающие решение главной и локальных задач. Различие между ними состоит в том, что в первом итераци­онный процесс основан на корректировке двойственных оценок ресурсов и продукции (такая корректировка делает для предприя­тия выгодными планы, все более приближающиеся к оптимально­му плану отрасли), а во втором - на корректировке лимитов обще­отраслевых ресурсов, выделяемых предприятиям. При этом задача сводится к игре между центром, варьирующим допустимые рас­пределения ресурсов, и предприятиями, варьирующими допусти­мые двойственные оценки ресурсов. Ценой игры является сумма целевых функций предприятий. В обоих методах важную роль играют двойственные оценки, причем их оптимальный уровень определяется вместе с оптимальным распределением ресурсов. Так, метод Данцига-Вулфа как бы моделирует «распродажу» гло­бальных ресурсов с учетом эффективности р_} использования /-го ресурса. Однако в конечном итоге планы локальных объектов ус­танавливаются с учетом решения задачи центра.

Методы блочного программирования активно применились в исследованиях декомпозиционного централизованного плани­рования. При этом они, во-первых, предполагают распределение вычислительных функций между элементами системы и не тре­буют концентрации информации и, во-вторых, могут включать моделирование элементов децентрализованного управления. Централизм методов блочного программирования находит вы­ражение в том, что критерий оптимальности и правые части ог­раничений локальных задач определяются алгоритмом решения исходной задачи. Они «предписываются» локальному объекту, представляя собой редукцию на локальный объект глобального критерия (как в методе Данцига-Вулфа) или глобальных ограни­чений (как в методе Корнаи-Липтака), а не выявляются при его анализе как самоорганизующейся системы.

• 1. Д а н ц и г Дж. Линейное программирование, его применение и обоб­
щение, пер. с англ./ Дж. Данциг. -М.: Прогресс, 1966. 2. Гольштейн Б.Г.
Новые направления в линейном программировании / Б.Г. Гольштейн,
Д. Б. Юдин. - М.: Советское радио, 1966. 3. Корнай Я. Планирование на
двух уровнях: в 3-х т. / Я. Корнай, Т. Липтак // Применение математики
в экономических исследованиях. Т. 3. - М.: Мысль, 1965. 4. Лопатни-
к о в Л-И. Экономико-математический словарь / Л.И. Лопатников; отв. ред.
Н.П. Федоренко. - М.: Наука, 1987. - С. 44-45. 5. Полтерович В.М.
Блочные методы вогнутого программирования и их математическая интер­
претация / В.М. Полтерович // Экономика и математические методы. Т. V,
вып. 2,1969. - С. 73-85. Б.И. Кузин, В.Н. Юрьев

БОЛЬШАЯ СИСТЕМА - термин, нашедший широкое использо­вание в период становления системных исследований, чтобы под­черкнуть принципиальные особенности объектов и проблем, тре­бующих применения системного подхода. Эти особенности могли и не характеризоваться вначале, а уточнялись в процессе поста­новки задачи.

Наиболее широко этот термин использовался при исследова­нии технических систем и систем автоматизированного и авто­матического управления. В частности, был распространен тер­мин большие системы управления (БСУ).

В качестве признаков большой системы предлагалось исполь­зовать различные понятия: понятие иерархической структуры, что, естественно, сужало класс структур, с помощью которых может отображаться система; понятие «человеко-машинная» система

(но тогда выпадали полностью автоматические комплексы); нали­чие больших потоков информации или большого числа алгорит­мов ее переработки.

У.Р. Эшби считал, что система является большой с точки зре­ния наблюдателя, возможности которого она превосходит в ка­ком-то аспекте, важном для достижения цели (см. Цель). При этом один и тот же материальный объект в зависимости от цели на­блюдателя и средств, имеющихся в его распоряжении, можно ото­бражать или не отображать большой системой и, кроме того, физические размеры объекта не являются критерием отнесения объекта к классу больших систем.

С появлением и развитием автоматизированных систем уп­равления (АСУ) часто стали отождествлять понятие БСУ с поня­тием АСУ [2]. Но тогда из класса БСУ исключались транспорт­ные и телефонные сети.

Н.П. Бусленко [1] предложил в силу отсутствия четкого опре­деления отнесения системы к разряду больших и относительной условности этого понятия связывать понятие большая система с тем, какую роль играют при изучении системы комплексные обще­системные вопросы, что, естественно, зависит от свойств систем и классов решаемых задач. Этой точки зрения придерживаются и авторы первого в нашей стране учебника по теории БСУ [3]. По­этому часто БСУ определяли на примерах, что сделано и в [3].

Для сфер биологических, экономических, социальных систем иногда понятие большой системы связывали с понятиями эмерд-жентности (см. Закономерность целостности (эмерджентности), открытости (см. Открытая система)), с активностью элемен­тов, в результате чего такая система обладает как бы «свободой воли», нестабильным и непредсказуемым поведением и другими характеристиками развивающихся,-самоорганизующихся систем.

Первоначально, а иногда и до сих пор термины большая и сложная система используются как синонимы. Некоторые иссле­дователи даже связывали сложность с числом элементов [4, 5] (см. подробнее Сложная система).

В то же время были и иные точки зрения: поскольку это раз­ные слова в естественном языке, то и использовать их нужно как разные понятия.

Например, связывали понятие большая с величиной системы, количеством элементов (часто относительно однородных), а по-

бита

нятие сложная - со сложностью отношений, алгоритмов /или сложностью поведения [4].

Существуют и более убедительные обоснования различия понятий большая и сложная система.

В частности, Ю.И. Черняк предлагает называть большой сис­темой «такую, которую невозможно исследовать иначе, как по подсистемам», а сложной - «такую систему, которая строится для решения многоцелевой, многоаспектной задачи» [6, с. 22].

Поясняя эти понятия на примерах, Ю.И. Черняк подчеркивает, что в случае большой системы объект может быть описан как бы на одном языке, т.е. с помощью единого метода моделирования, хотя и по частям, подсистемам. А сложная система (см.) отражает объект «с разных сторон в нескольких моделях, каждая из которых имеет свой язык», а для согласования этих моделей нужен особый мета­язык.

Для того чтобы точнее пояснить понятие большой системы, Ю.И. Черняк иллюстрирует его рисунком.

Ю.И. Черняк также в явном виде связывает понятия большой и сложной системы с понятием наблюдателя (см.): для изучения боль­шой системы необходим один наблюдатель (имеется в виду относи­тельная однородность их квалификации: напр., инженер, или эко­номист), а для понимания сложной системы нужно несколько

наблюдателей принципиально разной квалификации (например, ин­женер-машиностроитель, программист, специалист по вычислитель­ной технике, экономист, а возможно и юрист, психолог и т. п.).

• 1.Бусленко Н.П. Лекции по теории сложных систем/Н.П. Бусленко,
В.В. Калашников, И.Н. Коваленко. - М.: Советское радио, 1973. 2. Глуш-
ков В.М. Введение в АСУ / В.М. Глушков. - Киев: Техшка, 1974. 3. Де­
нис о в А.А. Теория больших систем управления / А.А. Денисов, Д.П. Колес­
ников. - М.: Энергоиздат, Ленингр. отд-ние, 1982.4. Методологические
проблемы кибернетики: в 2 т. ~ М,: МГУ, 1970. 5. Фл ейш ман Б.С. Эле­
менты теории потенциальной эффективности сложных систем / Б.С. Флейш-
ман. - М.: Сов. радио, 1971. 6. Черняк Ю.И. Анализ и синтез систем в
экономике / Ю.И. Черняк. - М.: Экономика, 1970. 7. Черняк Ю.И. Сис­
темный анализ в управлении экономикой/Ю.И. Черняк.-М.: Экономи­
ка, 1975. 8. Эш б и У.Р. Введение в кибернетику/У.Р, Эшби. - М.: Иностр.
лит., 1959. В.Н. Волкова

БУЛЕВО ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ - класс задач дискретного программирования, в которых все или некоторые пе­ременные могут принимать лишь одно из двух значений: 0 или 1. Математическая модель такой задачи имеет вид:

Решают эти задачи методами целочисленного линейного про- I граммирования. Булево линейное программирование открыло [ путь к трактовке комбинаторных экстремальных задач общего вида как задач линейного программирования.

• 1.Корбут А.А.Дискретноепрограммирование/А.А.Корбут.Ю.Ю.Фин-
кельштейн.-М.: Наука, 1969. 2. Фин кел ьштейн Ю.Ю. Алгоритм для
решения задач целочисленного линейного программирования с булевыми
переменными / Ю.Ю. Финкельштейн // Экономика и математические мето­
ды.- 1965. -^.№ 5.-С 746-759. З.Лопатников Л.И. Экономико-матема­
тический словарь / Л.И. Лопатников; отв. ред. Н.П. Федоренко. - М.: На­
ука, 1987. В.Н. Юрьев

i ⁶* 83

<►------------------------------------- —

ВЕКТОРНАЯ (МНОГОКРИТЕРИАЛЬНАЯ) ОПТИМИЗАЦИЯ -

направление в теории оптимизации, в котором критерием опти­мальности является вектор с несколькими компонентами (крите­риями).

Пусть X обозначает множество возможных решений, содер­жащее по крайней мере два элемента. Через SelA' обозначим под­множество множества X, которое называют множеством выби­раемых (выбранных) решений. Часто это множество состоит из одного элемента, но в некоторых задачах оно может содержать и большее число элементов. Задача принятия решений состоит в осу­ществлении выбора, т.е. в отыскании множества SelA" с использо­ванием всей имеющейся в наличии информации.

Процесс выбора невозможен без того, кто осуществляет вы­бор, преследуя свои собственные цели. Человека (или коллектив, подчиненный достижению определенной цели), который делает выбор и несет ответственность за его последствия, называют ли­цом, принимающим решение (ЛПР).

Обычно выбранным (наилучшим) оказывается такое решение, которое наиболее полно удовлетворяет стремлениям, интересам и целям ЛПР. Желание ЛПР достичь определенной цели нередко удается выразить в математических терминах в виде максимиза­ции (или минимизации) некоторой числовой функции, которую называют целевой функцией, или критерием. Однако в более слож­ных ситуациях ЛПР приходится иметь дело не с одной, а сразу с несколькими функциями подобного типа.

Пусть есть т {т ^ 2) целевых функций, определенных на мно­жестве X. Они образуют так называемый векторный критерий/= ⁼ (/|>Л> ">/_m)i который принимает значения в m-мерном ариф­метическом пространстве R^m. Это пространство называют кри­териальным пространством.

Задачу выбора решений, включающую множество возможных решений Хн векторный критерий/, называют многокритериаль­ной задачей (или задачей векторной оптимизации).

Ключевую роль в многокритериальной оптимизации играет понятие парето-оптимального решения. Решение х* е X называ­ют парето-оптимальным (оптимальным по Парето, эффективным или неулучшаемым), если не существует другого возможного реше-

нияхе X, такого, что /_г{х) ^/(х*) для всех номеров * = 1,2, ...,т, причем по крайней мере для одного номерау" е {1,2, ...,т) имеет место строгое неравенство /.(*) >/,(х*). Другими словами, паре-то-оптимальное решение не может быть улучшено (в данном слу­чае увеличено) ни по какому критерию (ни по какой группе кри­териев) при условии сохранения значений по всем остальным критериям. Множество всех парето-оптимальных решений час­то обозначают Р1Х) и называют множеством Парето (множе­ством Эджворта-Парето), или областью компромиссов.

Заметим, что в частном случае, когда критерий всего один, т.е. т = 1, определение парето-оптимального решения превращается в определение точки максимума функции /, на множестве X. Это означает, что парето-оптимальное решение представляет собой обобщение обычной точки максимума числовой функции.

Если каждый критерий/, трактовать как функцию полезнос­ти /-го участника экономики, то к понятию парето-оптимально­го решения приводит воплощение идеи социальной справедли­вости, состоящей в том, что для коллектива всех участников более выгодным будет только то решение, которое не ущемляет инте­ресы ни одного из них в отдельности. При этом в случае перехо­да от одного парето-оптимального решения к другому если и происходит улучшение (увеличение) одного из критериев, то обя­зательно это улучшение будет сопровождаться ухудшением (уменьшением) какого-то другого критерия (или сразу несколь­ких критериев). Таким образом, переход от одного парето-опти­мального решения к другому невозможен без определенного ком­промисса. Отсюда и наименование множества Парето - область компромиссов.

При анализе и решении многокритериальных задач обычно i считают выполненной так называемую аксиому Парето, соглас­но которой в случае выполнения неравенствах*) ^Дх") для всех номеров /' = 1,2, ..., т, где по крайней мере для одного номера j € {1, 2,..., т}имеет место строгое неравенство/^') > fix"), ЛПР среди двух данных возможных решений х' и х' всегда отда­ет предпочтение первому из них.

Аксиома Парето фиксирует стремление ЛПР получить мак­симально возможные значения по всем имеющимся критериям. Кроме того, она показывает, что из пары произвольных реше­ний то из них, которое не является в этой паре парето-оптималь­ным, из указанной пары никогда выбирать не следует. Так как

Дата добавления: 2015-11-04