Сравнение эмпирического и теоретического

РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

Две градации

Эта задача сводится к сравнению численности двух долей объектов (лю­дей, событий и т. д.) в совокупности: обладающих и не обладающих некото­рым свойством.

ПРИМЕР______________________________________________________

Мы можем сопоставлять долю мужчин, которым больше нравятся блондинки, с до­лей мужчин, которым больше нравятся девушки с темными волосами. Или сопо­ставлять доли голосующих «за» и «против» введения моратория на смертную казнь.

Обычно, сопоставляя доли, мы надеемся обнаружить различия их пропор­ции от некоторого ожидаемого соотношения. Соотношение численности групп, которое мы получаем в результате исследования, называется эмпири­ческим распределением. Ожидаемому соотношению соответствует теоретичес­кое распределение. В качестве теоретического распределения чаще всего вы­ступает равномерное распределение.

Изучая отношение людей к введению моратория на смертную казнь, мы надеемся, что численность группы голосующих «за» будет отличаться отчисленности группы голосующих «против», то есть распределение голосующих на две категории будет отличаться от равномерного распределения.

Формулировка проверяемой Н_о: соотношение долей в генеральной сово­купности не отличается от ожидаемого (теоретического) соотношения.

ЧАСТЬ П. МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО ВЫВОДА: ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ

Исходные данные: определена принадлежность каждого испытуемого к од­ной из двух категорий номинативной переменной. Задано ожидаемое (теоре­тическое) соотношение численности категорий.

Эта гипотеза проверяется при помощи формулы 9.1 для критерия %², где Р = 2 (сумма состоит из двух слагаемых), к =2, 1=2, каждая из двух эмпири­ческих частот соответствует численности сравниваемых групп. Численности каждой из сравниваемых групп (эмпирической частоте) ставится в соответ­ствие теоретическая частота. Сумма теоретических частот равна сумме эмпи­рических частот, а соотношение теоретических частот равно ожидаемому (те­оретическому) соотношению.

Следует отметить, что точное решение для такого рода задач дает примене­ние биномиального критерия. Но поскольку его расчет трудоемок, а таблицы критических значений громоздки, мы предлагаем для расчетов «вручную» ис­пользовать приближение при помощи критерия х². При расчетах на компью­тере в подобных случаях все же следует предпочесть биномиальный критерий (см. раздел «Обработка на компьютере»).

ПРИМЕР 9.1______________________________________________________

А) Из 50 опрошенных по поводу отношения к введению моратория на смертную казнь 30 были «за», 20 — «против» (предполагается, что выборка репрезентатив­на генеральной совокупности). Можно ли утверждать на основании этого опро­са, что в совокупности количество сторонников превышает количество против­ников введения моратория на смертную казнь?

	Распределение:
эмпирическое	теоретическое
«За»
«Против»
Сумма:

Шаг 1. Формулируем Н_о: сравниваемые доли равны между собой (эмпирическое распределение соответствует равномерному распределению).

Ш а г 2. Выбираем для принятия статистического решения а = 0,05.

Шаг 3. Вычисляем эмпирическое значение критерия. Задача сводится к сопостав­лению эмпирического распределения 30:20 с идентичным по общей численности, но равномерным теоретическим распределением 25:25. Следовательно:

Ш а г 4. Определяем ^-уровень. По таблице критических значений теоретическо­го распределения х²-Пирсона (приложение 4) для df= 1 видим, что наше эмпириче­ское значение х²_э находится левее критического значения для /> = 0,1:

_Z2^ р = 0,1 р = 0,05 р = 0,01 р = 0,001

Ш а г 5. Принимаем статистическое решение. В соответствии со схемой определе­ния /?-уровня р > 0,1, и мы не можем отклонить Н₍₎, так как р > а.

Ш а г 6. Формулируем содержательный вывод. В результате исследования не обна­ружены статистически значимые различия в соотношении численности сторонни­ков и противников введения моратория на смертную казнь (р > 0,1). Или: числен­ность сторонников и противников введения моратория на смертную казнь статис­тически значимо не различается (р > 0,1).

Б) Предположим теперь, что было опрошено не 50, а 100 человек, и соотношение высказавшихся «за» и «против» сохранилось. Тогда эмпирические частоты со­ставили бы 60 «за» и 40 «против», а соответствующие теоретические частоты рав­нялись бы 50. Число степеней свободы не меняется, а эмпирическое значение критерия увеличивается: Хэ⁼ 4. В соответствии с таблицей критических значе­ний х² и со схемой определения р-уроъняр< 0,05, и мы можем отклонить Н_о, так как р < а. Тогда содержательный вывод будет другим: численность сторонников введения моратория на смертную казнь статистически достоверно выше числен­ности противников введения моратория (р < 0,05).

Обратите внимание: принятие Н_о не позволяет сделать никакого вывода о соотношении численности сравниваемых групп. Напротив, отклонение Н_о позволяет в данном случае говорить не только о различии сравниваемых до­лей, но и о направлении различий — о том, что одна доля больше другой.

Отметим, что в качестве ожидаемого (теоретического) распределения мо­жет выступать не обязательно равномерное распределение. Например, мы можем проверять содержательную гипотезу о том, что некоторая группа со­ставляет по численности менее 20% совокупности. Тогда соотношение теоре­тических частот будет не 1:1, как в рассмотренном примере, а 1: 4. В осталь­ном весь ход решения остается прежним.

ПРИМЕР 9,2___________________________________________________________

Рассмотрим исследование, в котором проводилось сравнение частоты рождения мальчиков в индейских семьях английского города, где подавляющую часть насе­ления составляли выходцы из Америки¹. Средняя частота рождения мальчиков в Англии составляет 52%, а в данном случае за период наблюдения из 20 родивших­ся детей мальчиков оказалось 5. Можно ли на этом основании сделать вывод о том, что в индейских семьях этого города мальчики рождаются достоверно реже, чем в целом по Англии?

Ш а г 1. Формулируем Н_о: Р = 0,52 (выборочные данные согласуются с вероятнос­тью рождения мальчиков Р = 0,52).

¹ Справочник по прикладной статистике. В 2 т. / Под ред. Э. Ллойда, У. Ледермана, Ю. Тю­рина. М., 1989. С. 212.

ЧАСТЬ 11. МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО ВЫВОДА: ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ

Ш а г 2. Выбираем для принятия статистического решения а = 0,05.

Ш а г 3. Составляем таблицу эмпирических и теоретических частот и вычисляем эмпирическое значение критерия.

	Распределения:
	эмпирическое	теоретическое
Мальчики		10,4
Девочки		9,6
Сумма:

Задача сводится к сопоставлению эмпирического распределения 5:15 с идентич­ным по общей численности теоретическим распределением (0,52:0,48). Следова­тельно:

Подставляем эти значения в формулу 9.1:

(/_э), = 5; (Л)₂ = 15; (£), = 10,4; (f_r)₂ = 9,6. Подставляем эти значения в формулу 9.1:

Шаг 4. Определяем р-уровень. По таблице критических значений теоретического распределения х²-Пирсона (приложение 4) для df~ 1 видим, что наше эмпиричес­кое значение Хэ находится между критическими значениями для/? = 0,05 \\р = 0,01. Следовательно, /; < 0,05.

Ш а г 5. Принимаем статистическое решение. Tax как/К а, то Н_о можно отклонить.

Шаг 6. Формулируем содержательный вывод. В индейских семьях этого города маль­чики действительно рождаются достоверно реже, чем в целом по Англии (р < 0,05).

Дата добавления: 2015-11-04