Операторный метод для действительных корней.

Составим операторную схему замещения (рис.3.4.4).

До коммутации тока в катушке и напряжения на конденсаторе не было. Это значит, что в цепи нулевые начальные условия u_C (0) = 0 и i ₁(0) = 0. Изображение тока i (t) I (p)запишем по законуОма:

, где р = σ+jω – оператор Лапласа.

Изображение постоянного напряжения U есть

.

Операторное сопротивление Z(p) равно

.

Тогда,

(3.5)

Подставив числовые значения, получим:

Изображение тока представляет собой отношению двух функций переменного р, причем степень многочлена F ₂(р)больше степени многочлена F ₁(p), то есть I (p) представляет собой правильную дробь.

Для того чтобы вычислить оригинал - ток i (t), нужно вос­пользоваться формулой разложения. С этой целью нужно сначала найти корни знаменателя. К двум корням, которые мы вычислили в классическом методе: p ₁ = -9420 р ₂= -1380, добавился третий корень р ₃ = 0. Наличие нулевого корня свидетельствует о существовании принужденной составляющей.

Оригинал тока находим, используя формулу разложения:

Здесь F ₃(p) = F ₂ /p = 10^-5 p ² + 0,108 p + 130.

Определим производную знаменателя:

.

Подставляя в выражения для F ₁(p) и F ₃^’(р) зна­чения корней, подсчитаем соответственно F ₁(р_к)и F ₃^’(р_к):

Окончательно получим:

Результат идентичен полученному классическим методом.

На примере той же схемы (рис.3.4.1) рассмотрим случай комплексно-сопряженных корней.

Параметры цепи:

U = 220 B

R₁ = 50 Ом

R₂ = 100 Ом

L = 50 мГн =5·10^-2 Г

С = 8 мкФ = 8·10^-6 Ф

Дата добавления: 2015-11-04