Тема 6.2. Определения и свойства

Рассмотрим два множества и . Элементы этих множеств могут каким-либо образом сопоставляться друг другу, образуя пары . Если задан способ такого сопоставления, то говорят что между множествами установлено соответствие. При этом совершенно необязательно, чтобы в сопоставлении участвовали все элементы множеств и .

Определение: Соответствием между множествами и называется любое подмножество – декартова произведения множеств.

Пример 6.3: Рассмотрим два множества:

А={Гагарин, Дунаевский, Носов, Рахманинов}

В={1900,1901,….2000} – годы 20 века.

Установим соответствие между этими двумя множествами, например, человек – год рождения.

Г = {(Гагарин, 1934);(Дунаевский, 1900);(Носов,1908)}

(Рахманинов, 1973) – естественно не вошёл в множество.

Другим примером соответствия, установленного между этими множествами, может быть такое: человек – год смерти.

Г={(Гагарин,1968);(Дунаевский,1955);(Носов,1986);(Рахманинов,1943)}

Определение: Множество , такое что, называется областью определения соответствия .

Определение: Множество , такое что, называется областью значений соответствия .

Таким образом, соответствие можно задать ООС, ОЗС и законом, определяющим соответствие.

Определение: Если каждому элементу множества ставится в соответствие один или более элемент множества , то говорят что задано отображение множества на множество .

В ранее приведённом примере соответствие человек – год рождения – не является отображением (т.к. не каждому элементу множества ставится в соответствие элемент из множества ), а соответствие (человек, год смерти) – является отображением.

Определение: Функцией называется такое отображение множества на множество , когда каждому элементу множества ставится в соответствие единственный элемент множества .

Замечание: При этом множества и могут совпадать.

Определение: Если область определения отображения и область значения отображения совпадают, то отображение называется отношением.

Отметим некоторые возможные свойства отношений, пусть на множестве задано отношение :

Отношение называется рефлексивным, если – истинно, т.е. существует отношение элемента к .

Отношение называется антирефлексивным, если – ложно, т.е. не существует отношения к .

Отношение называется симметричным, если из существования отношения следует существования отношения .

Отношение называется антисимметричным, если , таких что существуют отношения , следует .

Отношение называется несимметричным, если таких, что существует отношение , следует, что не существует отношение .

Отношение называется транзитивным, если из существования отношения и , следует существование отношения .

Пример 6.4: Алфавит русского языка , как и любого другого языка – это упорядоченное множество букв. Назовём отношение между элементами этого множества отношением предшествования и обозначим его значком .

Мы знаем, что и т.д.

Укажем свойства этого отношения:

· – ложно, т.к. ни одна из букв не предшествует сама себе. Т.е. отношение предшествования антирефлексивно.

· если – истинно, то – ложно. Т.е. отношение предшествования несимметрично.

· Если - истинно и - истинно, то - истинно. Следовательно, отношение транзитивно.

Т.о. отношение предшествования, которое мы ввели на множестве букв русского языка антирефлексивно, несимметрично и транзитивно.

Пример 6.5: Можно ввести на множестве из предыдущего примера отношение «непосредственно предшествует», основываясь на уже существующем и исследованном нами отношении «предшествует». Будем говорить, что непосредственно предшествует , если и

Упражнение: определите свойства этого отношения самостоятельно.

Дата добавления: 2015-10-28