Аналитическая геометрия. Элементы векторной и линейной алгебры

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

1.Определителем (детерминантом) n- го порядка называется число D, равное алгебраической сумме n! Членов, составленных определенным образом из элементов a_ij определителя. Обозначение:

.

Алгебраическим дополнением A_ij элемента a_ij определителя n-го порядка называется определитель (n-1)-го порядка, полученный из исходного вычеркиванием I-ой строки и j-го столбца и умноженный на (-1)^i+j /

Рекуррентная формула для определителя n-го порядка имеет вид

D=a_n1A_n1+ a_n2A_n2+….+ a_nnA_nn

(Разложение определителя по элементам n-ой строки).

Определитель второго порядка

.

2.Скалярным произведением двух векторов и называется число, определяемое равенством

, (1)

где j - угол между векторам.

Рис.1

Рис.1 Рис.2

3. Векторным произведением двух векторов и называется вектор , длина которого равна произведению длин векторов-сомножителей на синус угла между ними и который направлен перпендикулярно векторам и так, что векторы , и образуют правую тройку (рис.1):

(2)

Геометрически равен площади S параллелограмма, построенного на векторах и :

.

4. Смешанное произведение трех векторов , и есть число равное

. (3)

Модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на векторах , и .

5. Общее уравнение плоскости P имеет вид

Ax+By+Cz+D=0,

где - нормальный вектор к плоскости (рис. 2).

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки M₀(x₀,y₀,z₀), M₁(x₁,y₁,z₁) и M₂(x₂,y₂,z₂), имеет вид

(4)

Угол между двумя плоскостями, имеющими нормальные векторы и , определяется как угол между ; косинус этого угла находится по формуле:

. (5)

6.Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки M₀(x₀,y₀,z₀) и M₁(x₁,y₁,z₁), имеет вид

(6)

7.Матрицей A=(a_ij) размера m*n называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов:

A= .

Произведением матрицы A=(a_ij) размера m*r на матрицу B=(b_jk) размера r*n называется матрица C=AB=(c_jk) размера m*n с элементами

C_ik=a_i1b_1k+ a_i2b_2k+ …+a_irbr_k

(поэлементное умножение I-й строки матрицы A на k-й столбец матрицы B).

Матрица размера n*n называется квадратной матрицей n-го порядка. Элементы a₁₁, a_22,…., a_nn образуют главную диагональ матрицы. Определитель, составленный из элементов квадратной матрицы, называется определителем матрицы и обозначается |A| или detA.

Матрица E с элементами a_ij= называется единичной матрицей n-го порядка. Матрица A^-1 называется обратной к матрице A(detA¹0), если A^-1A=AA^-1=E.

Элементы a^-1_ij обратной матрицы A^-1=(a^-1_ij) вычисляются по формулам,

,

где A_ij- алгебраическое дополнение элемента a_ij, матрицы A, а |A| - ее определитель. Матрица A_r называется канонической, если в начале ее главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы равны 0; например,

A= .

Любая матрица A может быть приведена к каноническому виду A_r путем элементарных преобразований: а) перестановки столбцов (строк); б) умножения столбца (строки) на число, отличное от 0; в) прибавления к элементам какого-либо столбца (строки) соответствующих элементов другого столбца (строки), умноженных на число.

Матрицы, переходящие друг в друга в результате элементарных преобразований, называются эквивалентными: A~A_r.

Число r единиц, стоящих на главной диагонали канонической матрицы A_r, не зависит от способа приведения матрицы A к каноническому виду и называется рангом исходной матрицы A: r(A)= r. Эквивалентные матрицы имеют один и тот же ранг.

9. Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными х₁, х₂, х₃ имеет вид

(7)

где a_ij- коэффициенты системы; b_i- свободные члены. Определитель третьего порядка D, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы.

Если D¹0, то единственное решение системы (7) выражается формулами Крамера:

x₁=D₁/D; x₂=D₂/D; x₃=D₃/D, (8)

где D_1, D_2, D₃ – определители третьего порядка, получаемые из определителя системы D заменой 1, 2 или 3-го столбца соответственно свободными членами b₁, b₂, b₃.

Систему (7) можно записать в матричной форме: AX= B, где

Тогда ее решение имеет вид

X=A^-1B, (9)

если определитель системы отличен от 0.

Если система линейных уравнений с n неизвестными совместна, а ранг матрицы системы меньше числа неизвестных, т.е.

r<n,

то система имеет бесконечное множество решений. Свободные n-r неизвестных выбираются произвольно, а главные r неизвестных определяются единственным образом через свободные неизвестные.

10. Вектор-столбец

называется собственным вектором квадратной матрицы A n-го порядка, соответствующим собственному значению l, если он удовлетворяет матричному уравнению

AX=lX, или (A- lE)X = 0.

Здесь E- единичная матрица n-го порядка, а 0- нулевой вектор-столбец. При условии, что вектор X¹ 0, получаем характеристическое уравнение для определения собственных значений l:

det(A- lE)= 0. (10)

Координаты собственного вектора X_i, соответствующего собственному значению l_i, являются решением системы уравнений

Собственный вектор определяется с точностью до постоянного множителя.

Дата добавления: 2015-10-02