Введение в анализ. Комплексные числа

1. Прямоугольные координаты (х; у) точки М и ее полярные координаты (r; j) связаны соотношениями

х = p cosj; y= p sinj;

где p- полярный радиус, а j- полярный угол точки М.

2. Определение конечного предела функции в точке: число A называется пределом функции f(x) при х®а, если для любого e > 0 найдется d > 0 такое, что |f(x)- A| < e при

|x-a| < d.Обозначение: или f(x)®а при.

Функция f(x) (F(x)) называется бесконечно малой (бесконечно большой) при x®a, если

Две функции f(x) и j(x), одновременно стремящиеся к 0 или бесконечности при х® а, называются эквивалентными, если . Обозначение: f(x)~j(x).

Предел отношения бесконечно малых (бесконечно больших) функций не изменится, если каждую из них заменить эквивалентной ей функцией, т.е.

если f(x)~ f₁(x),j(x).~j₁(x).

3. К основным элементарным функциям относятся: 1) степенная функция у= хⁿ; 2) показательная функция у= а^х; 3) логарифмическая функция у= log_ax; 4) тригонометрические функции: y= sin x; y=cos x; y= tg x; y= ctg x; 5) обратные тригонометрические функции: y= arcsin x; y= arccos x; y= arctg x; y= arcctg x.

Предел элементарной функции в точке области ее определения равен частному значению функции в этой точке:

Нарушение ограничений, накладываемых на функции при вычислении их пределов, приводит к неопределенностям вида ¥-¥,¥0,0/0, ¥/¥,1^¥,0⁰, ¥⁰. Элементарными приемами раскрытия неопределенностей являются: 1) сокращение на множитель, создающий неопределенность; 2) деление числителя и знаменателя на старшую степень аргумента (для отношения многочленов при х® ¥); 3) применение эквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших; 4) использование двух замечательных пределов:

Отметим также, что

4. Функция f(x) называется непрерывной в точке х = а, если:

1) частное значение функции в точке х = а равно f(a);

2)существуют конечные односторонние пределы функции

3) односторонние пределы равны:

4) предельное значение функции в точке х = а равно ее частному значению f(a):

C=f(a)

Обозначение:

Точка х = а называется точкой устранимого разрыва, если f(a)¹ C.

Точка х = а называется разрыва первого рода, если оба односторонних предела конечны, но f(a-0) ¹ f(a+0).

Точка х = а называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности или не существует.

5. Выражение вида z= x + yi = p (cosj + isinj) называется комплексным числом (в алгебрарической и тригонометрической форме соответственно). Здесь i²= -1, x= Re z – действительная часть, а y= Im z- мнимая часть комплексного числа z; p и j- модуль и аргумент числа z:

Комплексные числа изображаются точками на комплексной плоскости(рис.3).

Извлечение корня n-й степени (n- натуральное число) из числа x= p (cos j + isin j) (z¹ 0) производится по формуле

где - арифметический корень из модуля z, а k= 0, 1, …, n-1.

Дата добавления: 2015-10-02