Примеры решения задач. Пример 1. По координатам вершин пирамиды A1 (3; -2; 2), A2 (1; -3; 1)

Пример 1. По координатам вершин пирамиды A₁ (3; -2; 2), A₂ (1; -3; 1), A₃ (2; 0; 4), A₄ (6; -4; 6) найти: 1) длины ребер A₁A₂ и A₁A₃; 2) угол между ребрами A₁A₂ и A₁A₃; 3) площадь грани A₁A₂A₃; 4) объем пирамиды A₁A₂A₃A₄.

Решение. 1) Находим векторы A₁A₂ и A₁A₃:

Длины этих векторов, т.е. длины ребер A₁A₂ и A₁A₃, таковы:

2) Скалярное произведение векторов A₁A₂ и A₁A₃ находим по формуле (1):

а косинус угла между ними – по формуле (5):

Отсюда следует, что j- тупой угол, равный p- arcos0,27 = 1,85 рад с точностью до 0,01. Это и есть искомый угол между ребрами A₁A₂ и A₁A₃.

3) Площадь грани A₁A₂A₃ равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах A₁A₂ и A₁A₃, т.е. половине модуля векторного произведения этих векторов:

Здесь определитель вычисляется с помощью разложения по первой строке. Следовательно,

.

4) Объем V пирамиды равен 1/6 объема параллелепипеда, построенного на векторах A₁A_2, A₁A₃, A₁A₄. Вектор `A<sub>1</sub>A<sub>4</sub>= 3`i- 2`j + 4`k. Используя формулу (3), получаем

Пример 2. Найти угол между плоскостью P₁, проходящей через точки A₁ (2; -4; 1), A₂ (-1; 2; 0), A₃ (0; -2; 3), и плоскостью P₂, заданной уравнением 5х + 2у- 3х + 1= 0.

Решение. Уравнение плоскости P₁ находим по формуле (4):

т.е. 7(x-2) + 4(y + 4) + 3(z-1)=0, 7x + 4y + 3z=1.

По уравнениям плоскостей определяем их нормальные векторы: `N<sub>1</sub>= 7`i + 4`j + 3`k, `N<sub>2</sub>= 5`i + 2`j –3`k. Угол j между плоскостями P₁ и P₂ находим по формуле (5):

откуда j=arcos 0,64= 0,87 рад.

Пример 3. Составить уравнение прямой, проходящей через точки A₁ (4; -3; 1) и A₂ (5; -3; 0).

Решение. Используя формулу (6), получаем

Равенство 0 знаменателя второй дроби означает, что прямая принадлежит плоскости у= -3.

Пример 4. С помощью формул Крамера найти решение системы линейных уравнений

Решение. Вычислим определитель системы

Так как D¹0, то решение системы может быть найдено по формулам Крамера (8). Для этого найдем D₁, D₂, D₃:

-78;

Подставляя найденные значения определителей в формулы (8), получаем искомое решение системы: x₁=D₁/D=3, x₂= D₂/D=-5, x₃= D₃/D =2.

Пример 5. Найти решение системы примера 4 с помощью обратной матрицы.

Решение. Здесь

Так как определитель матрицы системы отличен от 0 (см. пример 4):|A|= -26, то матрица A имеет обратную. Для нахождения обратной матрицы A^-1 вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы A:

Согласно формуле (9), матрица A^-1, обратная к A, имеет вид

Проверим правильность вычисления A^-1, исходя из определения обратной матрицы и используя формулу AA^-1=A^-1A=E:

Матричное решение системы в силу формулы (9) имеет вид

Откуда следует (из условиях равенства двух матриц), что х₁=3, х₂=-5, х₃=2.

Пример 6. Найти решение однородной системы линейных уравнений

Решение. Однородная система имеет нетривиальное решение, если ранг матрицы системы

меньше числа неизвестных. Приведем матрицу A к каноническому виду A_r, путем элементарных преобразований. Прибавляя к 1-му столбцу 3-й, а из 3-го вычитая 2-й, получаем

.

Умножим 1-й столбец на ¼, а затем вычтем из 3-й строки 1-ю:

Из 3-й строки вычтем 2-ю, умноженную на 4, а затем ко 2-му и 3-му столбцам прибавим 1-й столбец, умноженный соответственно на 3 и 1:

Таким образом, ранг матрицы A равен 2 и система имеет нетривиальное решение. Примем за главные неизвестные х₁ и х₂. Тогда система сводится к системе двух уравнений

Решение которой имеет вид х₁=1/5x₃, x₂=-4/5x₃. Придавая свободному неизвестному х₃ произвольные значения x₃=5t, получаем решение системы в виде x₁=t, x₂=-4t, x₃=5t.

Пример 7. Определить собственные значения и собственные векторы матрицы

Решение.

Характеристическое уравнение для данной матрицы имеет вид (10):

откуда следует, что матрица A имеет два собственных значения l₁=4 и l₂= -1. Собственный вектор Х₁, соответствующий l₁=4, определяется из системы уравнений вида:

Которая сводится к одному уравнению х₁= 2t, x₂= t. Следовательно, первый собственный вектор есть Х₁= .

Второй собственный вектор Х₂, соответствующий собственному значению l₂= -1, определяется из системы уравнений вида:

Эта система уравнений также сводится к одному уравнению х₁+3x₂= 0; полагая х₂= t, запишем ее решение в виде x₁= -3t, x₂=t. Следовательно, второй собственный вектор есть Х₂=

Таким образом, матрица A имеет два собственных различных значения l₁=4 и l₂= -1 и два собственных вектора, равных (с точностью до постоянного множителя) Х₁= , Х₂=

Пример 8. Найти полярные координаты точки М()(рис.4).

Решение. Используя формулы, находим полярный радиус и полярный угол точки М:

так как точка М лежит в IV четверти.

Пример 9. Построить по точкам график r= 2sin j в полярной системе координат. Найти уравнение полученной кривой в прямоугольной системе координат, начало которой совмещено с полюсом, а положительная полуось Ох- с полярной осью. Определить вид кривой.

Решение. Так как полярный радиус не отрицателен, т. е. r ³ 0, то sinj ³ 0, откуда 0 £ j £ p; значит, вся кривая расположена в верхней полуплоскости. Составим вспомогательную таблицу:

Номера точек
j		p/8	p/4	3p/8	p/2	5p/8	3p/4	7p/8	p
sinj		0.38	0.71	0.92		0.92	0.71	0.38
r=2sinj		0.76	1.42	1.84		1.84	1.42	0.76

Для построения кривой на луче, проведенном из полюса под углом j_k, откладываем соответствующее значение полярного радиуса r_k= r(j_k) и соединяем полученные точки(рис.5).

Найдем уравнение кривой r= 2sinj в прямоугольной системе координат. Для этого заменим r и j их выражениями через х и у по формулам:

Окончательно имеем , т.е. рассматриваемого уравнение выражает окружность с центром в точке (0; 1) и единичным радиусом.

Пример 10. Найти

Решение. Подставляя вместо х его предельное значение, равное 3, получаем в числстеле бесконечно большую, а в знаменателе- бесконечно малую функцию:

Поэтому .

Пример 11. Найти

Решение. Подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределенности вида ¥/ ¥. Так как под знаком предела стоит отношение двух многочленов, то разделим числитель и знаменатель на старшую степень аргумента, т.е. на х⁴. В результате получим

Поскольку при х® ¥ функции 5/ x³ и 7/ x⁴ являются бесконечно малыми.

Пример 12. Найти

Решение. Для раскрытия получающейся здесь неопределенности вида 0/ 0 используем метод замены бесконечно малых эквивалентными. Так как при х® 0 , то на основании формулы находим

Пример 13. Найти

Решение. Подстановка х= -2 приводит к неопределенности 1^¥. Произведем замену переменных: y=x+2, Тогда

Здесь использован второй замечательный предел.

Пример 14. Указать слагаемое, эквивалентное всей сумме при х® 0.

Решение. Очевидно, что при х® 0 оба слагаемых являются бесконечно малыми. Найдем предел отношения суммы к каждому из слагаемых, используя замену бесконечно малых эквивалентными:

Следовательно, функция эквивалентна при х® 0 второму слагаемому.

Пример 15. Исследовать функцию

На непрерывность; найти точки разрыва функции и определить их тип. Построить схематический график функции.

Решение. Так как данная функция определена на всей числовой оси, то «подозрительными на разрыв» являются те точки, в которых изменяется аналитическое выражение функции, т.е. точки х= -1 и х= 0. Вычислим односторонние пределы в этих точках.

Для точки х= -1 имеем:

Односторонние пределы функции в точке х= -1 существуют, но не равны между собой. Следовательно, эта точка является точкой разрыва первого рода

Для точки х= 0 получаем

Односторонние пределы функции при х® 0 равны между собой и равны частному значению функции: Следовательно, исследуемая точка является точкой непрерывности.

Пример 16. Изобразить на комплексной плоскости числа: . Записать число z₁ в тригонометрической, а число z₂- в алгебраической форме.

Решение. 1) Для числа z₁ имеем x₁= Re z₁= -8, y₁= Im z₁= 0. Откладывая по оси Ох х₁= -8, а по оси Оу у₁= 0, получаем точку комплексной плоскости, соответствующую числу z₁. Модуль этого числа находим по формуле: . Аргумент определяем из равенства Так как число х₁ находится в левой полуплоскости, то его аргумент j₁= p. Тригонометрическая форма числа z₁ имеет вид z₁= 8(cosπ+isinπ).

2)Модуль числа z₂ равен p₂=2, а аргумент j₂= p/4. Для его изображения на комплексной плоскости проводим из полюса луч под углом j₂= p/4 к полярной оси и откладываем на нем отрезок длиной p₂= 2. Полученная точка соответствует числу z₂. Его действительная часть Re z₂= x₂= p₂ cosj₂= 2cosp/4= , а мнимая часть Im z₂= y₂= p₂ sinj₂= 2sinp/4= . Таким образом, алгебраическая форма числа z₂ имеет вид z₂= + .

Пример 17. Вычислить .

Решение. Модуль числа –8 равен 8, а аргумент равен p. Используя формулу, получаем

k=0,1,2.

При k= 0:

При k= 1:

При k= 2:

Дата добавления: 2015-10-02