Задача 5

Составить представление функции интегралом Фурье. Найти преобразования Фурье и определить амплитудный спектр функции .

Решение

1. Построим график заданной функции :

Данная функция f(x) на каждом отрезке [- l,l ], где l – любое число, кусочно-монотонная (в нестрогом смысле), кроме того, f(x) – абсолютно интегрируемая функция, т.е. сходится несобственный интеграл . Таким образом, функция может быть представлена интегралом Фурье.

2. Составим представление функции интегралом Фурье в действительной форме, которое имеет следующий теоретический вид:

где

(1)

Вычисляем

1) если , то

;

Вычисление интегралов методом интегрирования по частям:

2) если , то

; ;

эти же значения могут быть получены посредством предельного перехода в предыдущих формулах для ().

Подставляя функции в равенство (1) получаем представление данной функции интегралом Фурье в действительной форме:

(2)

Составленный несобственный интеграл гарантированной сходится к функции , которая составляется по теореме Дирихле и отличается от функции только в точках скачкой;

в решаемой задаче имеет вид:

3. Комплексная форма интеграла Фурье имеет теоретический вид:

.

Вычисляем :

.

Подставляя получаем представление той же функции интегралом Фурье в комплексной форме:

. (3)

4. Запишем косинус-преобразование Фурье , синус-преобразование Фурье и комплексное преобразование Фурье данной функции :

,

5. Определим непрерывный амплитудный спектр данной функции , построим его график.

Амплитудный спектр для действительной формы (2) интеграла Фурье:

график амплитудного спектра:

Амплитудный спектр для комплексной формы (3) составленного интеграла Фурье:

график амплитудного спектра в этом случае:

Ответ:

1) Представление интегралом Фурье в действительной форме:

представление интегралом Фурье в комплексной форме:

.

2) Преобразования Фурье функции :

(косинус-преобразование);

(синус-преобразование);

, (комплексное преобразование).

3) амплитудный спектр функции :

, ;

, .

Дата добавления: 2015-10-02