Решение. Построим график функции f(x):

Построим график функции f(x):

Функция непрерывна в каждой точке промежутка , следовательно,

удовлетворяет условиям Дирихле, поэтому её можно разлагать в ряд Фурье.

Записываем вид ряда Фурье и формулы для его коэффициентов для -периодической функции:

;

; ; ;

Вычисляем коэффициенты Фурье для данной функции :

;

Таким образом, для данной функции коэффициенты Фурье получились следующими

Подставляем вычисленные коэффициенты в ряд Фурье и выясняем его сходимость:

;

Так как исходная функция является непрерывной при , то по теореме Дирихле заключаем, что соответствующий этой функции ряд Фурье сходится к значениям самой этой функции при . Поэтому сумму составленного ряда запишем так:

.

Проверка достоверности разложения:

построим график функции , равной такой частичной сумме полученного ряда Фурье, чтобы графики функций и визуально совпадали. В данной задаче такое совпадение наблюдается, если взять

.

Так как в данной задаче сумма ряда Фурье совпадает с функцией , для которой этот ряд составлен, то в ответ можно записать знак равенства между функцией и её рядом Фурье при .

Ответ: .

Задача 2. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с периодом . Построить график суммы ряда.

Дата добавления: 2015-10-02