Исследование анизотропии коэффициента теплового расширения г.п.у. металлов

Цель работы:

С помощью метода молекулярной динамики (МД) определить коэффициент теплового расширения г.п.у. металла и исследовать его анизотропию.

Используемые программы:

1) программа XMD;

2) программа создания расчетной ячейки для моделирования идеальной г.п.у. решетки;

3) набор табулированных потенциалов для г.п.у. металлов;

4) программа визуализации атомных структур RasMol.

1. Тепловое расширение металлов

Коэффициентом теплового расширения твердых тел называется величина

, (л3.1)

где ‑ линейный размер тела. Тепловое расширение связано с ангармонизмом колебаний кристаллической решетки. Ангармонизм появляется ввиду несимметричности потенциала взаимодействия атомов относительно положений равновесия.

Рассмотрим классический осциллятор, потенциальная энергия которого как функция от смещения от положения равновесия x задана выражением

(л3.2)

где ‑положительные константы.

Среднее значение смещения для осциллятора, подчиняющегося распределению Больцмана, можно определить по формуле

(л3.3)

Считая ангармонические члены малыми, разложим подынтегральные функции в ряд:

=

(л3.4)

(л3.5)

Интегралы I ₁ и I ₃ равны нулю, а I ₂‑ табличный интеграл. Взяв его, получим:

. (л3.6)

Следовательно,

. (л3.7)

Тогда коэффициент линейного теплового расширения равен

. (л3.8)

Таким образом, коэффициент теплового расширения пропорционален коэффициенту при ангармоническом кубическом члене в разложении потенциальной энергии. Формула (л3.8) показывает, что кристаллы с более жесткими межатомными связями имеют меньшие коэффициенты теплового расширения.

Коэффициенты теплового расширения некоторых металлов приведены в табл.1.

Таблица 1. Коэффициенты теплового расширения металлов

Металл	a´10^6 К^-1	Металл	a´10^6 К^-1
Au	13,9	Pb	28,8
Fe	11,7	Ni	12,5
Mo	5,2	W	4,6

В аморфных материалах тепловое расширение изотропно, а в кристаллах оно, вообще говоря, анизотропно, то есть коэффициент теплового расширения для различных направлений различен. В кубических кристаллах, ввиду высокой симметрии, анизотропия отсутствует, но в г.п.у. решетке коэффициенты теплового расширения в базисной плоскости и в направлении [0001] значительно различаются.

2. Расчет коэффициента теплового расширения

Коэффициент теплового расширения металлов может быть определен с помощью МД. Для этого необходимо провести моделирование кристаллической решетки для ряда температур и определить периоды решетки для разных направлений.

Задачей данной работы является определение коэффициента теплового расширения для г.п.у. металла. Для этого строится исходная структура с расчетной ячейкой, стороны которой x, y, z направлены вдоль кристаллографических направлений , и , соответственно. Расчетная ячейка строится так, что ее стороны кратны периодам решетки в соответствующих направлениях: , , . При выборе чисел повторений следует руководствоваться двумя соображениями. С одной стороны, при малом количестве атомов в системе расчеты производятся быстрее, поэтому нужно стремиться строить расчетные ячейки с как можно меньшими размерами. С другой стороны, должно удовлетворяться требование, чтобы размеры расчетной ячейки превышали удвоенный радиус обрезания потенциала.

При каждой температуре МД-релаксация решетки совершается при динамических границах, размеры расчетной ячейки определяются по истечении времени, достаточного для установления равновесных размеров. При этом следует иметь в виду, что и после установления равновесия в системе размеры расчетной ячейки испытывают флуктуации. Поэтому для определения сторон расчетной ячейки нужно усреднять значения в различные моменты времени. Для усреднения берутся значения только в моменты времени, последующие после установления равновесия. Среднее значение можно определить также, построив график зависимости размера ячейки от числа шагов.

3. Порядок выполнения работы:

1. Перейти к папке Lab_3 и запустить программу построения идеальной г.п.у. решетки hcp.exe. Ввести по запросу программы параметры решетки c и a заданного преподавателем металла (эти параметры записаны в файлах, содержащих потенциалы) и три целых числа , задающих кратность повторения периода решетки в каждой стороне расчетной ячейки.

2. Составить командный файл XMD, задающий подходящую последовательность действий для определения размеров расчетной ячейки при различных температурах. Учесть следующие факторы: моделирование должно проводиться с динамическими границами, необходимо прослеживать за изменениями при релаксации размеров ячейки и потенциальной энергии. Число шагов МД выбрать по совету преподавателя. Кроме того, следует учесть, что в XMD есть два способа изменения размеров расчетной ячейки, которые задаются командами PRESSURE ISOTROPIC и PRESSURE ORTHORHOMBIC. Если задан первый способ, то размеры ячейки во всех трех направлениях изменяются в одинаковой пропорции, так что симметрия моделируемой решетки не изменяется: кубическая ячейка остается кубической, тетрагональная или гексагональная сохраняет отношение . Если же используется команда PRESSURE ORTHORHOMBIC, то каждый размер ячейки изменяется независимо, поэтому кубическая решетка может потерять свою кубичность, а гексагональная – изменить отношение . Очевидно, что для исследования анизотропного свойства – теплового расширения необходимо использовать последний вариант.

3. Проведя пробное моделирование при T =0 K и сохраняя энергии с помощью команды ESAVE, определить минимальное количество шагов, необходимое для полной релаксации, и найти равновесные параметры решетки для этой температуры.

4. Для каждой температуры по результатам моделирования построить графики зависимости от числа шагов размеров расчетной ячейки во всех трех направлениях и найти равновесные размеры.

5. Определить периоды решетки металла в направлениях , и при температурах от 0 до 1000 К с интервалом 100 К. По этим величинам определить параметры решетки a и c.

6. Построить графики зависимости этих параметров от температуры. По полученной зависимости определить коэффициент теплового расширения металла в области комнатной температуры.

7. Сравнить рассчитанное значение с экспериментальным, взятым из справочника.

8. Составить отчет.

4. Контрольные вопросы

1. В чем причина теплового расширения твердых тел?

2. Почему в кристаллах тепловое расширение анизотропно?

3. При каких условиях необходимо моделировать релаксацию решетки для определения равновесного параметра решетки?

4. Меняются ли при молекулярно-динамической релаксации стороны расчетной ячейки пропорциональным образом?

5. Почему происходят флуктуации параметра решетки после достижения равновесия?

5. Требования к содержанию и оформлению отчета

Отчет должен быть оформлен в виде файла Winword и содержать следующие элементы:

- краткую теорию;

- постановку задач;

- командный файл, результаты исследования и рисунок структуры для каждого упражнения;

- графики зависимости параметров решетки от температуры;

- полученное значение коэффициента теплового расширения;

- выводы.

Дата добавления: 2015-10-02