Метод минимизации энергии

Построенная для моделирования атомная система в исходном состоянии, как правило, имеет конфигурацию, далеко не соответствующую минимуму потенциальной энергии взаимодействия атомов. Если эту систему предоставить самой себе, она будет релаксировать к состоянию с минимумом энергии. Во многих исследованиях, направленных, например, не на выяснение динамического поведения, а на определение структуры дефектов, нахождение такого состояния является основной задачей. Такая задача, например, возникает, при исследовании структуры точечных дефектов или дислокаций или границ зерен. Метод компьютерного моделирования, реализующий нахождение конфигурации атомной системы, соответствующей минимуму потенциальной энергии, называется методом минимизации энергии или, очень часто, применительно к атомному моделированию он называется молекулярной статикой.

Физически структура, которая определяется методом минимизации энергии, представляет собой равновесную структуру, которую имеет атомная система при температуре Т = 0 К. Математически задача нахождения равновесной структуры состоит в минимизации полной потенциальной энергии взаимодействия системы , которая представляет собой сложную функцию многих переменных. Поэтому для решения этой задачи используются наиболее эффективные методы и алгоритмы, разработанные в математике для минимизации функций.

Таких алгоритмов имеется много. Практически все они основаны на расчете градиента минимизируемой функции (в данном случае ) на каждом шаге и составлении некоторой итерационной схемы, приводящей к многомерной точке, в которой этот градиент равен нулю (необходимое условие минимума), а вторые производные положительны (достаточное условие минимума). Алгоритмы различаются именно реализацией этой итерационной схемы.

Одним из широко используемых в программах атомного компьютерного моделирования методов является метод сопряженных градиентов.

Рис. 4. Схематический график функции многих переменных с локальными и глобальным минимумами

Наиболее трудной проблемой при минимизации энергии является нахождение глобального минимума, то есть состояния с действительно наименьшей энергией, которая возможна среди всех конфигураций. Сложные многомерные функции имеют множество локальных минимумов (см. рис. 4), и тот из них, в котором функция обладает наименьшим значением, называется глобальным. Если исходная конфигурация оказалась вблизи одного из локальных минимумов, не совпадающих с глобальным, то релаксация любым из методов приводит к этому минимуму. Для атомной системы такое состояние является метастабильным, из которого при нулевой температуре она никогда не выйдет. Таким образом, стабильная структура с минимальной энергией оказывается доступной не из любого начального состояния. Найдя то или иное метастабильное состояние, никогда нельзя определить, является ли оно стабильным, если не перебраны все возможные локальные минимумы. Более того, нет способов определения, сколько локальных минимумов существует для данной системы. Для решения этой проблемы не существует общих методов. Частично преодолеть ее помогает использование метода молекулярной динамики (МД). Ниже, при изучении методов моделирования границ зерен, мы ознакомимся с несколькими методами, которые позволяют преодолевать проблему нахождения глобального минимума именно для этих дефектов.

Дата добавления: 2015-10-02