Тема 5: последовательности независимых испытаний

6.1 Для данного автомата вероятность изготовления детали высшего сор­та равна 0,7. Для контроля выбрана партия, состоящая из десяти изделий, изготовленных данным автоматом. Найти вероятность того, что среди про­веряемых деталей окажется: а) восемь изделий высшего сорта; б) не менее восьми изделий высшего сорта. Чему равно наиболее вероятное число дета­лей высшего сорта в проверяемой партии? Найти вероятность соответст­вующего события.

6.2 Вероятность невыполнения рейса для некоторого маршрута составляет 0,04. Определить вероятность того, что среди 200 рейсов данного маршрута число невыполненных не превысит пяти.

6.3 Вероятность изготовления дефектной детали для некоторого станка равна 0,03. Сколько деталей, изготовленных на данном станке необходимо проверить, чтобы с вероятностью не менее чем 0,99 среди них встретилась хотя бы одна дефектная деталь?

6.4 На основании многолетних статистических данных известно, что вероятность рождения мальчика равна 0,515. В первые классы должно быть принято 200 детей. Определить вероятность того, что среди них окажется: а) ровно половина мальчиков; б) не менее половины мальчиков.

6.5 Игральная кость подбрасывается 10 раз. Какова вероятность того, что шесть очков появится: а) три раза; б) хотя бы один раз; в) не менее трех раз?

6.6 По линии связи было передано сообщение, содержащее 400 знаков. На основании статистических данных известно, что в данном случае вероятность передачи каждого знака без искажения равна 0,9. Найти вероятность того, что не менее 350 знаков будут переданы без искажения. Чему равно наиболее вероятное число знаков, переданных без искажения? Вычислить вероятность соответствующего события.

6.7 Завод изготовил партию, состоящую из 500 изделий. Известно, что доля бракованных изделий в продукции завода составляет 0,2 %. Найти ве­роятность того, что в данной партии окажется: а) хотя бы одно бракованное изделие; б) не более трех бракованных изделий.

6.8 При проектировании корпоративной автоматической телефонной станции (КАТС) известно, что вероятность занятия телефонного канала каждым из абонентов в произвольный момент времени равна 0,03. Каким должно быть число каналов связи КАТС с городской телефонной сетью, чтобы с вероятностью 0,9 обеспечить безотказную работу 100 абонентов данной КАТС?

Тема 7. Случайные величины. Закон распределения и числовые характеристики случайных величин

Для случайных величин, указанных в условиях задач 7.1-7.6

а) построить ряд распределения;

б) построить столбцовую диаграмму;

в) вычислить функцию распределения и построить ее график;

г) вычислить числовые характеристики данной случайной величины: математическое ожидание, моду, медиану, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

7.1 При определенном производстве вероятность получения изделия высшего сорта равна 0,3. Случайная величина X— число изделий высшего сорта среди четырех проверяемых.

7.2 Испытывается устройство, состоящее из трех независимо работаю­щих приборов. Вероятности безотказной работы этих приборов до конца гарантийного срока соответственно равны 0,8, 0,85 и 0,9. Случайная величина Х- число приборов, проработавших до конца гарантийного срока.

7.3 Известно, что среди 15 лотерейных билетов имеются 5 выигрышных. Случайная величина Х - число выигрышных билетов среди трех купленных.

7.4 Стрельба по мишени ведется до первого попадания. Вероятность по­падания при каждом выстреле постоянна и равна р. Случайная величина X-число произведенных выстрелов.

Тема 8. Основные законы распределения случайных величин

8.1 По данным длительной проверки качества изделий определенного вида, известно, что 4 % изделий данного вида не выдерживают гарантийный срок эксплуатации. Определить математическое ожидание и дисперсию числа изделий, не выдержавших гарантийный срок эксплуатации среди 700 изготовленных изделий.

8.2 Рабочий обслуживает 700 станков. Для каждого станка вероятность отказа в течение смены равна 0,004. Найти вероятность того, что в течение смены произойдет не более двух отказов.

8.3 Рукопись объемом 1000 страниц машинописного текста содержит 400 опечаток. Найти вероятность того, что наудачу взятая страница содержит: а) хотя бы одну опечатку; б) не более двух опечаток. Предполагается, что распределение вероятностей числа опечаток на странице рукописи подчинено закону Пуассона.

8.4 Коммутатор учреждения обеспечивает соединение абонентов по внутренней связи. Известно, что для некоторого промежутка времени рабочего дня среднее число вызовов, поступающих в течение 1 минуты, равно 1,5. Поток вызовов можно считать простейшим. Для этого промежутка времени найти вероятность того, что: а) в течение минуты поступит хотя бы один вызов; б) в течение трех минут произойдет не менее четырех вызовов.

8.5 На основании предыдущего опыта, сотрудники транспортной компании знают, что 5 % клиентов, делающих предварительный заказ на транспортные усгуги, не будут его использовать. На ближайший день компания получила 125 заказов. Какова вероятность того, что для их осуществления понадобится: а) ровно 125 транспортных средств; б) не более 120 транспортных средств?

8.6 Поезда в метро идут с интервалом в три минуты. Пассажир приходит на платформу поезда в произвольный момент времени. Найти вероятность того, что он будет ожидать поезд не более одной минуты. Чему равно сред­нее время ожидания поезда пассажиром?

8.7 Цена деления шкалы вольтметра равна 0,2 В. Показания округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка: а) не превышающая 0,03 В; б) положительная ошиб­ка, превышающая 0,02 В.

8.8 Время безотказной работы самолетного радиоэлектронного оборудо­вания в полете является случайной величиной, распределенной по экспо­ненциальному закону. Определить вероятность безотказной работы обору­дования в течение десятичасового полета, если среднее время безотказной работы по статистическим данным составляет 200 часов.

8.9 Найти среднее время безотказной работы электронного устройства, если известно, что для данного устройства вероятность работы без сбоев в течение 500 часов равна 0,7. (Предполагается, что время безотказной работы распределено по экспоненциальному закону.)

8.10. Размер деталей подчинен закону нормального распределения с ма­тематическим ожиданием 15 мм и дисперсией 0,25 мм². Определить ожи­даемый процент брака, если допустимые размеры деталей находятся в пре­делах от 14 до 17 мм.

8.11 Срок службы технического устройства является случайной величи­ной, подчиняющейся нормальному закону распределения с математическим ожиданием 112 месяцев и средним квадратическим отклонением 32 месяца. На сколько месяцев можно дать гарантию, чтобы число бесплатных ремон­тов не превышало: а)15,87 %; 6)1,78 %?

Дата добавления: 2015-09-01