Решение. Обозначим через х величину угла BAD, а через h ширину досок

Обозначим через х величину угла BAD, а через h ширину досок, тогда

АВ = ВС = CD = h, AE = h·cosx, AD = h + 2h·cosx, BE = h·sinx.

Желоб представляет собой призму, основанием которой служит трапеция ABCD, а высота равна длине сбиваемых досок. Обозначив длину досок через l, найдем объем желоба. V(x) = l h² (1+cosx)sinx. Требуется узнать при каком значении х из интервала (0; ) функция V принимает наибольшее значение.

Найдем производную функции V:

V' = l h² (cosx·(l + cosx) – sin²x) = l ·h² (2cos²x + cosx – 1) =

2 l h² (cosx – )· (cosx +1),

замечаем, что на рассматриваемом интервале производная существует и обращается в нуль только при х = , причем при 0 < х < производная положительна, а при < х < отрицательна. Значит, функция V достигает своего наибольшего значения на интервале (0; ) при х = .

Зная оптимальное значение x, найдем искомое значение: .

Ответ:

Пример

Каким должно быть отношение диаметра основания к высоте закрытой цилиндрической цистерны, чтобы при заданном объеме на изготовление цистерны шло как можно меньше материала?

Дата добавления: 2015-09-05