Читайте также:
|
|
Задание 1. Найти и изобразить на плоскости область определения функции двух переменных: .
Решение. Очевидно, аналитическое выражение, задающее данную функцию, имеет смысл тогда и только тогда, когда знаменатель дроби не равен нулю: . Уравнение задаёт на координатной плоскости параболу , вершина которой находится в точке , ветви направлены влево, а осью симметрии является ось абсцисс. Таким образом, областью определения данной функции являются все точки координатной плоскости, кроме тех, что лежат на параболе .
Задание 2. Найти частные производные первого порядка функций двух переменных:
2.1. .
Решение. .
2.2. .
Решение. .
2.3. .
Решение. .
Задание 3. Найти все частные производные второго порядка функции двух переменных: .
Решение. Сначала найдём частные производные первого порядка:
.
Теперь находим производные второго порядка по переменным и :
.
Находим смешанные производные:
.
Задание 4. Найти производную функции в точке по направлению вектора .
Решение. Производная функции по направлению вектора равна:
, где направляющие косинусы вектора .
Находим частные производные данной функции:
.
Находим значения частных производных в точке :
.
Находим направляющие косинусы вектора :
.
Окончательно получим:
.
Задание 5. Найти градиент функции в точке .
Решение. Градиент функции двух переменных равен .
Найдём частные производные:
.
Найдём значения частных производных в точке :
.
Тогда градиент равен .
Задание 6. Исследовать функцию на экстремумы.
Решение. Областью определения данной функции является вся числовая плоскость . Найдём частные производные данной функции:
.
Производные первого порядка непрерывны на всей области определения функции. Для того, чтобы найти стационарные критические точки функции, решим систему уравнений:
Получили одну стационарную критическую точку . Для того, чтобы выяснить, является ли она точкой экстремума, найдём производные второго порядка.
.
Найдём дискриминант: где .
В данном случае, . В данной точке экстремума нет.
Задание 7. Найти экстремум функции при условии .
Решение. Областью определения данной функции является вся числовая плоскость . Выразим из уравнения связи переменную : . Далее рассмотрим оба возможных случая.
1) . Подставляя это выражение в исходную функцию, получим функцию одной переменной . Исследуем эту функцию на наибольшее и наименьшее значение при .
. Очевидно, при любых значениях переменной , и поэтому наибольшее и наименьшее значение достигается в концах отрезка.
.
2) . Подставляя это выражение в исходную функцию, получим функцию одной переменной . Исследуем эту функцию на наибольшее и наименьшее значение при .
. Получили две стационарные критические точки. Найдём значения функции в этих точках и на концах отрезка.
.
Таким образом, .
Задание 8. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в области .
Решение. Прежде всего, заметим, что данная функция непрерывна в рассматриваемой области. Найдём стационарные критические точки функции, принадлежащие указанной области. Частные производные первого порядка непрерывны в данной области. Составим систему уравнений:
Получили одну стационарную критическую точку . Найдём значение функции в этой точке: . Далее, последовательно найдём значения функции на всех границах области.
1) . Функция принимает вид . Тогда .
2) . Функция принимает вид . Тогда .
3) . Функция принимает вид . Тогда .
4) . Функция принимает вид . Тогда .
Получили:
Задание 9. Найти с помощью полного дифференциала приближённое значение выражения
Решение. Воспользуемся приближённым равенством .
Отсюда .
Рассмотрим функцию . Найдём полный дифференциал этой функции:
.
Примем . Тогда получим:
. (Вычисление с помощью микрокалькулятора даёт результат 7,916).
Вариант № 1.
Задание 1. Найти и изобразить на плоскости область определения функции двух переменных: .
Задание 2. Найти частные производные первого порядка функций двух переменных:
2.1. ; 2.2. ; 2.3. .
Задание 3. Найти все частные производные второго порядка функции двух переменных: .
Задание 4. Найти производную функции в точке по направлению вектора .
Задание 5. Найти градиент функции в точке .
Задание 6. Исследовать функцию на экстремумы.
Задание 7. Найти экстремум функции при условии .
Задание 8. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в области .
Задание 9. Найти с помощью полного дифференциала приближённое значение выражения .
Вариант № 2.
Задание 1. Найти и изобразить на плоскости область определения функции двух переменных: .
Задание 2. Найти частные производные первого порядка функций двух переменных:
2.1. ; 2.2. ; 2.3. .
Задание 3. Найти все частные производные второго порядка функции двух переменных: .
Задание 4. Найти производную функции в точке по направлению вектора .
Задание 5. Найти градиент функции в точке .
Задание 6. Исследовать функцию на экстремумы.
Задание 7. Найти экстремум функции при условии .
Задание 8. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в области .
Задание 9. Найти с помощью полного дифференциала приближённое значение выражения .
Вариант № 3.
Задание 1. Найти и изобразить на плоскости область определения функции двух переменных: .
Задание 2. Найти частные производные первого порядка функций двух переменных:
2.1. ; 2.2. ; 2.3. .
Задание 3. Найти все частные производные второго порядка функции двух переменных: .
Задание 4. Найти производную функции в точке по направлению вектора .
Задание 5. Найти градиент функции в точке .
Задание 6. Исследовать функцию на экстремумы.
Задание 7. Найти экстремум функции при условии .
Задание 8. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в области .
Задание 9. Найти с помощью полного дифференциала приближённое значение выражения .
Вариант № 4.
Задание 1. Найти и изобразить на плоскости область определения функции двух переменных: .
Задание 2. Найти частные производные первого порядка функций двух переменных:
2.1. ; 2.2. ; 2.3. .
Задание 3. Найти все частные производные второго порядка функции двух переменных: .
Задание 4. Найти производную функции в точке по направлению вектора .
Задание 5. Найти градиент функции в точке .
Задание 6. Исследовать функцию на экстремумы.
Задание 7. Найти экстремум функции при условии .
Задание 8. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в области .
Задание 9. Найти с помощью полного дифференциала приближённое значение выражения .
Вариант № 5.
Задание 1. Найти и изобразить на плоскости область определения функции двух переменных: .
Задание 2. Найти частные производные первого порядка функций двух переменных:
2.1. ; 2.2. ; 2.3. .
Задание 3. Найти все частные производные второго порядка функции двух переменных: .
Задание 4. Найти производную функции в точке по направлению вектора .
Задание 5. Найти градиент функции в точке .
Задание 6. Исследовать функцию на экстремумы.
Задание 7. Найти экстремум функции при условии .
Задание 8. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в области .
Задание 9. Найти с помощью полного дифференциала приближённое значение выражения .
Вариант № 6.
Задание 1. Найти и изобразить на плоскости область определения функции двух переменных: .
Задание 2. Найти частные производные первого порядка функций двух переменных:
2.1. ; 2.2. ; 2.3. .
Задание 3. Найти все частные производные второго порядка функции двух переменных: .
Задание 4. Найти производную функции в точке в направлении, составляющем с осью абсцисс угол .
Задание 5. Найти градиент функции в точке .
Задание 6. Исследовать функцию на экстремумы.
Задание 7. Найти экстремум функции при условии .
Задание 8. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в области .
Задание 9. Найти с помощью полного дифференциала приближённое значение выражения .
Вариант № 7.
Задание 1. Найти и изобразить на плоскости область определения функции двух переменных: .
Задание 2. Найти частные производные первого порядка функций двух переменных:
2.1. ; 2.2. ; 2.3. .
Задание 3. Найти все частные производные второго порядка функции двух переменных: .
Задание 4. Найти производную функции в точке в направлении, составляющем с осью абсцисс угол .
Задание 5. Найти градиент функции в точке .
Задание 6. Исследовать функцию на экстремумы.
Задание 7. Найти экстремум функции при условии .
Задание 8. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в области .
Задание 9. Найти с помощью полного дифференциала приближённое значение выражения .
Вариант № 8.
Задание 1. Найти и изобразить на плоскости область определения функции двух переменных: .
Задание 2. Найти частные производные первого порядка функций двух переменных:
2.1. ; 2.2. ; 2.3. .
Задание 3. Найти все частные производные второго порядка функции двух переменных: .
Задание 4. Найти производную функции в точке в направлении, составляющем с осью абсцисс угол .
Задание 5. Найти градиент функции в точке .
Задание 6. Исследовать функцию на экстремумы.
Задание 7. Найти экстремум функции при условии .
Задание 8. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в области .
Задание 9. Найти с помощью полного дифференциала приближённое значение выражения .
Вариант № 9.
Задание 1. Найти и изобразить на плоскости область определения функции двух переменных: .
Задание 2. Найти частные производные первого порядка функций двух переменных:
2.1. ; 2.2. ; 2.3. .
Задание 3. Найти все частные производные второго порядка функции двух переменных: .
Задание 4. Найти производную функции в точке в направлении, составляющем с осью абсцисс угол .
Задание 5. Найти градиент функции в точке .
Задание 6. Исследовать функцию на экстремумы.
Задание 7. Найти экстремум функции при условии .
Задание 8. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в области .
Задание 9. Найти с помощью полного дифференциала приближённое значение выражения .
Вариант № 10.
Задание 1. Найти и изобразить на плоскости область определения функции двух переменных: .
Задание 2. Найти частные производные первого порядка функций двух переменных:
2.1. ; 2.2. ; 2.3. .
Задание 3. Найти все частные производные второго порядка функции двух переменных: .
Задание 4. Найти производную функции в точке в направлении, составляющем с осью абсцисс угол .
Задание 5. Найти градиент функции в точке .
Задание 6. Исследовать функцию на экстремумы.
Задание 7. Найти экстремум функции при условии .
Задание 8. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в области .
Задание 9. Найти с помощью полного дифференциала приближённое значение выражения .
Вариант № 11.
Задание 1. Найти и изобразить на плоскости область определения функции двух переменных: .
Задание 2. Найти частные производные первого порядка функций двух переменных:
2.1. ; 2.2. ; 2.3. .
Задание 3. Найти все частные производные второго порядка функции двух переменных: .
Задание 4. Найти производную функции в точке в направлении, составляющем с осью абсцисс угол .
Задание 5. Найти градиент функции в точке .
Задание 6. Исследовать функцию на экстремумы.
Задание 7. Найти экстремум функции при условии .
Задание 8. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в области .
Задание 9. Найти с помощью полного дифференциала приближённое значение выражения .
Вариант № 12.
Задание 1. Найти и изобразить на плоскости область определения функции двух переменных: .
Задание 2. Найти частные производные первого порядка функций двух переменных:
2.1. ; 2.2. ; 2.3. .
Задание 3. Найти все частные производные второго порядка функции двух переменных: .
Задание 4. Найти производную функции в точке в направлении, составляющем с осью абсцисс угол .
Задание 5. Найти градиент функции в точке .
Задание 6. Исследовать функцию на экстремумы.
Задание 7. Найти экстремум функции при условии .
Задание 8. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в области .
Задание 9. Найти с помощью полного дифференциала приближённое значение выражения .
Вариант № 13.
Задание 1. Найти и изобразить на плоскости область определения функции двух переменных: .
Задание 2. Найти частные производные первого порядка функций двух переменных:
2.1. ; 2.2. ; 2.3. .
Задание 3. Найти все частные производные второго порядка функции двух переменных: .
Задание 4. Найти производную функции в точке в направлении, составляющем с осью абсцисс угол .
Задание 5. Найти градиент функции в точке .
Задание 6. Исследовать функцию на экстремумы.
Задание 7. Найти экстремум функции при условии .
Задание 8. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в области .
Задание 9. Найти с помощью полного дифференциала приближённое значение выражения .
Вариант № 14.
Задание 1. Найти и изобразить на плоскости область определения функции двух переменных: .
Задание 2. Найти частные производные первого порядка функций двух переменных:
2.1. ; 2.2. ; 2.3. .
Задание 3. Найти все частные производные второго порядка функции двух переменных: .
Задание 4. Найти производную функции в точке в направлении, составляющем с осью абсцисс угол .
Задание 5. Найти градиент функции в точке .
Задание 6. Исследовать функцию на экстремумы.
Задание 7. Найти экстремум функции при условии .
Задание 8. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в области .
Задание 9. Найти с помощью полного дифференциала приближённое значение выражения .
Вариант № 15.
Задание 1. Найти и изобразить на плоскости область определения функции двух переменных: .
Задание 2. Найти частные производные первого порядка функций двух переменных:
2.1. ; 2.2. ; 2.3. .
Задание 3. Найти все частные производные второго порядка функции двух переменных: .
Задание 4. Найти производную функции в точке в направлении, составляющем с осью абсцисс угол .
Задание 5. Найти градиент функции в точке .
Задание 6. Исследовать функцию на экстремумы.
Задание 7. Найти экстремум функции при условии .
Задание 8. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в области .
Задание 9. Найти с помощью полного дифференциала приближённое значение выражения .
Дата добавления: 2015-08-27; просмотров: 78 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
ОБРАЗЕЦ РЕШЕНИЯ ИНДИВИДУАЛЬНОГО ЗАДАНИЯ | | | СРСП №4 Обыкновенные дифференциальные уравнения |