Экспериментальное определение математических моделей объектов управления

Часто выходная величина (показатель эффективности) объекта управления у зависит от т независимых переменных x_i

(i=1,m)

Аналитическое выражение y = f(x₁, x₂,...,х_т) не известно. Поэтому для получения модели объекта приходится ограничиваться полиномом уравнения регрессии:

(8.1)

Геометрическим выражением уравнения (8.1) является неко торая поверхность в m -мерном пространстве, называемая поверхностью отклика, и это уравнение называется функцией отклика. Для получения значений коэффициентов уравнения (8.1) проводится эксперимент с числом наблюдений N выходной величины у. В каждом наблюдении фиксируются соответствующие значения входных величин х₁, х₂,..., х_т.

Если аппроксимирующий полином имеет степень d, то число коэффициентов регрессии, подлежащих оценке, равно C^d_m+d· Количество наблюдений N должно удовлетворять соотношению

N>C^d_m+d.

В зависимости от сложности объекта получаются линейные модели первого порядка

y = b_o + b₁x₁ + b₂x₂ + · · · +b_mx_m, (8.2)

или второго порядка

y = b_o + b₁x₁+... +b_mx_m + b₁₁x_l² + +... + b_mmx_m² + b₁₂x₁x₂ + ... + b_(m-1)mx_m-1x_m

(8.3)

с числом членов K + 1 =2т+(m(m-1)/2)+ 1. Бывают модели и

третьего порядка.

Для получения значений коэффициентов в уравнениях (8.2), (8.3) производится пассивный эксперимент, а где это возможно, и активный эксперимент по специальному плану с числом наблюдений N.

По результатам этих экспериментов на ЭВМ методом наименьших квадратов определяются значения коэффициентов регрессионных моделей первого или второго порядка.

При помощи того или иного критерия подобия дается оценка адекватности идентификации модели объекта управления соответствующим уравнением регрессии.

Уместно отметить, что величины коэффициентов уравнений регрессии определенно характеризуют степень влияния каждого входного параметра х_i (независимой переменной) на показатель эффективности процесса у.

Имея модели объекта (8.2), (8.3), можно создать систему оптимального управления соответствующим технологическим процессом с поиском и реализацией нужных значений входных величин х_i обеспечивающих экстремальное значение показателя эффективности у. Иногда объект управления характеризуется несколькими показателями эффективности, которые являются функциями тех же переменных х_i. В этом случае, решается задача многокритериального оптимального управления.

Существуют также модели объектов управления, где используются методы экспериментального имитационного моделирования процессов с определением оптимальных управляющих воздействий.

Дата добавления: 2015-08-27