Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Ортоцентр треугольника

Читайте также:
  1. Внешний угол треугольника. Синус и косинус внешнего угла
  2. Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусов
  3. Высота треугольника
  4. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
  5. Мужской джемпер треугольниками
  6. Ортоцентрический треугольник

Теорема 1. Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC и проведём через каждую из его вершин прямую, параллельную противолежащей стороне (рис.3).

Рис.3

Обозначим точки пересечения этих прямых символами A 1, B 1 и C 1, как показано на рисунке 3.

В силу параллельности прямых AC и C 1 A 1, а также BC и C 1 B 1 четырёхугольники AC 1 BC и ABA 1 C – параллелограммы, откуда вытекают равенства

C 1 B = AC = BA 1.

Следовательно, точка B является серединой стороны C 1 A 1.

В силу параллельности прямых BC и C 1 B 1, а также AB и B 1 A 1 четырёхугольники AC 1 BC и ABCB 1 – параллелограммы, откуда вытекают равенства

C 1 A = BC = A 1 B 1.

Следовательно, точка A является серединой стороны C 1 B 1.

В силу параллельности прямых AB и B 1 A 1, а также AC и C 1 A 1 четырёхугольники ABA 1 C и ABCB 1 – параллелограммы, откуда вытекают равенства

A 1 C = AB = B 1 C.

Следовательно, точка C является серединой стороны B 1 A 1.

Таким образом, высоты треугольника ABC являются серединными перпендикулярами треугольника A 1 B 1 C 1 (рис. 4),

Рис.4

и в силу теоремы о серединных перпендикулярах пересекаются в одной точке.

Теорема 1 доказана.

Определение 2. Точку пересечения высот треугольника (или их продолжений) называют ортоцентром треугольника.

У треугольников различных типов ортоцентры располагаются по-разному, как показано в следующей таблице.


Дата добавления: 2015-08-17; просмотров: 117 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Расположение высот у треугольников различных типов| Расположение ортоцентров у треугольников различных типов

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.009 сек.)