Пример 1.13

Круглая тонкая пластинка радиуса однородно заряжена с поверхностной плотностью .

Найдите модуль напряженности электрического поля на оси пластинки, как функцию расстояния от ее центра. Рассмотрите предельные случаи и .

Решение.

Представим круглую пластинку в виде набора узких концентрических колец радиуса и ширины (см. рис.).

Заряд одного такого элементарного кольца равен:

,

где площадь этого кольца.

Используя формулу для напряженности поля на оси кольца из примера 1.7., запишем напряженность поля в произвольной точке с координатой :

Векторы направлены одинаково для всех колец пластинки (по оси , так как заряд пластинки положительный). Применив принцип суперпозиции для напряженности, найдем :

Построим график зависимости :

Рассмотрим предельные случаи:

1) при - что соответствует полю бесконечной равномерно заряженной плоскости;

2) при , учитывая что , поле пластинки можно привести к виду:

то есть на больших расстояниях поле круглой пластинки соответствует полю точечного заряда, помещенного в ее центр.

Пример 1.14

Найти напряженность электрического поля, созданного отрезком тонкой, однородно заряженной с линейной плотностью нити в точке наблюдения c координатами , (см. рис.). Углы с осью x, под которыми видна точка наблюдения из концов отрезка , и расстояние y - известны.

Решение.

Вклад в напряженность поля от элемента отрезка dx равен . Поля от разных элементов отрезка отличаются как величиной, так и направлением. Поэтому для нахождения результирующего поля проинтегрируем проекции элементарных полей и . Для удобства интегрирования выразим переменные величины r и x через угол по соотношениям (см.рис.) и , . При этом и для проекций E_x и E_y получим:

,

Полученные формулы включают в себя все результаты расчета полей однородно заряженных отрезков. Приведем наиболее часто используемые:

Поле на перпендикуляре, проведенном из середины отрезка:

,

Поле бесконечного отрезка:

, ,

Поле полубесконечного отрезка в точках плоскости перпендикулярной отрезку и проходящей через его торец:

,

Дата добавления: 2015-08-10